MAT426 (Curvas Algebraicas)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:


Índice


Calendario Académico

El curso MAT426 se rige bajo el calendario académico del Doctorado en Matemática en consorcio PUCV-UTFSM-UV. En particular, las fechas importantes del Semestre 2020-2 a considerar son las siguientes:


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NuevoFormulario: Pueden consultar AQUI un Formulario Cohomológico (basado en los apuntes de Miles Reid) que resume las principales propiedades y resultados relacionados a la cohomología de haces coherentes.

NuevoNueva referencia: Pueden consultar las excelentes notas del curso de Geometría Algebraica de Andreas Gathmann AQUI.

Horarios: Nos reuniremos todos los Lunes de 9:45 a 11:15 y Miércoles de 11:30 a 13:00, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Martes de 8:40 a 9:40.

Presentación del curso: El día Martes 11 de Agosto a las 14:30 horas habrá una presentación del curso (vía Zoom) y se fijarán los horarios de clases y ayudantía.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí una descripción detallada del curso, así como referencias para cada tópico que será discutido.

Se recomienda leer antes de la primera clase el Capítulo 4 del siguiente apunte que repasa contenidos sobre Anillos y Módulos (desde una perspectiva geométrica). Ver aquí.

También será útil recordar las propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí.


Prerrequisitos

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Estructuras Algebraicas. En particular, la operatoria básica de Anillos y Módulos. Además, es bueno saber un poco de topología (definición de topología, continuidad, conexidad, etc: el curso de Análisis I es suficiente) y ciertamente ayudaría tener la intución y conocimientos de geometría diferencial (e.g. el Capítulo 1 del libro "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry" por M. Spivak y el Capítulo 1 del curso de Olivier Biquard), aunque no lo asumiré.


Material Adicional

Glosario matemático entre inglés y francés: Varias de las referencias del curso (y que están particularmente bien escritas y bien estructuradas) están en francés... c'est la vie. Recomiendo los glosarios de francés y alemán de Kai-Wen Lan (Minnesota). De todas maneras, al menos una de las referencias principales siempre estará en inglés.

Seminario de Geometría Algebraica Valparaíso (GAV): El primer semestre del año 2019 organizamos en conjunto con Gonzalo Manzano (USACH) un grupo de lectura semanal sobre geometría algebraica, y varios de los tópicos del curso fueron tocados allí. Ver aquí.

Macaulay2: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener una ayuda computacional. Personalmente recomiendo mucho el software libre Macaulay2, cuya versión online pueden encontrar aquí. Ver también el libro de D. Eisenbud, D. R. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels "Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2", donde pueden encontrar muchos ejemplos detallados.


Descripción

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes se introduzcan a la geometría algebraica. El principal objeto de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, las cuales son objetos geométricos que están definidos (localmente) por sistemas de ecuaciones polinomiales. Un ejemplo notable es la ecuación $$x^3+y^3 = z^3. $$ Si suponemos que las soluciónes $(x,y,z)$ son enteras entonces se sabe que dicha ecuación no posee soluciones no-triviales (Euler, 1760). Por otra parte, si suponemos que las soluciones son complejas entonces se sabe que el objeto geométrico que describe las soluciones de la ecuación es una curva elíptica (objeto muy importante en geometría, teoría de números, criptografía, etc).

Dado que en general existen demasiadas ecuaciones polinomiales a considerar, generalmente se imponen restricciones para estudiar dichas variedades algebraicas. Ejemplos de dichas restricciones pueden ser la cantidad de variables, la cantidad de polinomios, el grado de los polinomios, etc. Finalmente, otro tipo de restricciones interesantes son aquellas que involucran la geometría de la variedad algebraica definida por dichas ecuaciones polinomiales, como por ejemplo que el objeto sea suave (o que no tenga singularidades demasiado malas), que tenga una dimensión determinada, que posea ciertas formas diferenciales, etc. En otras palabras, y más precisamente, el objetivo de este curso es introducir las nociones básicas de la geometría algebraica moderna. En particular, se estudiarán algunos de los invariantes geométricos más importantes tales como los divisores, grupos de cohomología y el haz dualizante. Adicionalmente, se estudiarán algunos ejemplos remarcables provenientes de la geometría algebraica clásica tales como las hipersuperficies en espacios proyectivos, las variedades grassmannianas y los blow-up de variedades a lo largo de sub-variedades, entre otros. Finalmente, aplicaremos los resultados y métodos estudiados para analizar el caso de curvas algebraicas (i.e., variedades algebraicas de dimensión 1).

Concretamente, discutiremos sobre:

La evaluación de este curso se realizará mediante 1 Presentación, 1 Certamen y 1 Proyecto Final. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes:

La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.2 P + 0.3 C + 0.5 PF.

Clases (referencial) en Video y PDF


Ayudantía (referencial): discusión informal


Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias.

Referencias


Información Práctica

Nos reuniremos todos los Lunes de 9:45 a 11:15 y Miércoles de 11:30 a 13:00, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Martes de 8:40 a 9:40. Todas las sesiones serán por Zoom (el link será enviado por correo).


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