MAT235 (Análisis complejo)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

Pedro Montero
Oficina: F-247
Horario de clases: Martes de 9:35 a 10:45 y Jueves de 9:35 a 10:45.
Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00 por e-mail y Viernes de 17:10 a 18:20 por Zoom.
Ayudantía: Emilio Oyanedel, Martes de 17:10 a 18:20.

Calendario Académico

El curso MAT235 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2021-2 a considerar son las siguientes:

Inicio del Segundo Semestre 2021: Lunes 30 de Agosto.
Vacaciones de Fiestas Patrias: Lunes 13 de Septiembre al Domingo 19 de Septiembre. El día Lunes 20 de Septiembre se retoman las actividades académicas.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 11 de Octubre.
Vacaciones de Octubre: Lunes 18 de Octubre al Domingo 24 de Octubre. El día Lunes 25 de Octubre se retoman las actividades académicas.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 1 de Noviembre.
Desinscripciones: Viernes 26 de Noviembre, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
Feriado (fuera de vacaciones): Miércoles 8 de Diciembre.
Vacaciones de Navidad: Jueves 23 de Diciembre al Domingo 26 de Diciembre. El día Lunes 27 de Diciembre se retoman las actividades académicas.
Término del Segundo Semestre 2021: Jueves 30 de Diciembre.

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Nuevo Ayudantía: Las ayudantías se realizarán los días martes en el bloque 13-14 (de 17:10 a 18:20).

Presentación del curso: El día Jueves 26 de Agosto a las 9:35 horas habrá una presentación del curso (vía Zoom).

Importante: Deben leer antes de la primera clase las secciones $\S 0$ a $\S 3$ del apunte del curso, que recuerda contenidos de cursos anteriores y propiedades básicas de los números complejos: Ver aquí (PDF) y aquí (Video).

Horarios: Martes de 9:35 a 10:45 y Jueves de 9:35 a 10:45, y tendremos varias sesiones de Horario de Consultas (al menos una al mes, asistencia voluntaria) los Viernes de 17:10 a 18:20. El horario de ayudantía será determinado posteriormente.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.

Prerrequisitos y Apunte

Gran parte del curso estará basado en el Apunte Oficial del curso (en construcción): Ver aquí. ¡Atención! Este apunte sufrirá modificaciones a lo largo del semestre (correcciones, aclaraciones, ejemplos, etc), por lo que se recomienda no imprimirlo.

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de MAT024 (Cálculo IV). En particular, las nociones de integral doble, integral de línea y Teorema de Green en el plano. Pueden encontrar material complementario en el Apunte de MAT024 del Profesor Salomón Alarcón.

Material Adicional

Introducción visual al Análisis Complejo: Un excelente recurso online es "Análisis Complejo: Una introducción visual e interactiva" (por Juan Carlos Ponce Campuzano). Ver AQUI.

Fotos a PDF: El desarrollo de los Certámenes, Controles y Examen Global debe ser escrito a mano y subido a AULA en un único PDF. Si no cuentan con un escaner, les recomiendo que usen un celular con cámara para sacar una foto de su desarrollo y que usen, por ejemplo, la siguiente página gratuita para convertir sus fotos a PDF y luego unir los diferentes PDF en un único PDF: iLovePDF (Opciones a mirar antes del día del Certamen: "JPG a PDF" y "Unir PDF"). Otra alternativa son las aplicaciones para escanear usando el celular: Pueden encontrar muchas aplicaciones gratuitas buscando "scanner app free".

Descripción y Evaluación

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes aprendan los fundamentos de la teoría de funciones de variable compleja. Así mismo, serán capaces de extender los conceptos de límite, continuidad, diferenciabilidad e integración a funciones de variable compleja. Finalmente, se describirán algunas aplicaciones en física e ingeniería.

De manera más general, el Análisis Complejo (el nombre más comúnmente usado para este curso) es un área de las matemáticas que estudia funciones de variable compleja. Algunos importantes matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la teoría son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, y muchos otros desde el siglo XVIII en adelante.

Hoy en día, el Análisis Complejo es una rama muy importante dentro de las matemáticas, y existen muchas interacciones con otras áreas de la ciencia. Por ejemplo, es un área muy presente en física (hidrodinámica, termodinámica, mecánica cuántica) e ingeniería (nuclear, aero-espacial, mecánica y eléctrica).

Concretamente, en MAT235 discutiremos sobre:

Funciones holomorfas e Integración.
Funciones meromorfas y Residuos.
Introducción al Análisis de Fourier (con aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales Parciales y Teoría de Probabilidades).
Tópicos adicionales (si el tiempo lo permite): Funciones armónicas y sub-armónicas.

La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes, 2 controles y 1 tarea. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes (sujeto a modificaciones hasta el 22 de septiembre de 2021, de acuerdo a Calendario Académico):

Quiz 1 (Q1): Viernes 29 de Octubre de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 0$ a $\S 19$. Guía 1 de Ejercicios (salvo la última sección).
Certamen 1 (C1): Sábado 6 de Noviembre de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 0$ a $\S 21$. Guía 1 de Ejercicios (incluyendo la última sección).
Quiz 2 (Q2): Viernes 19 de Noviembre de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 0$ a $\S 27$, con énfasis en $\S 22$ a $\S 27$. Guía 2 de Ejercicios (salvo la última sección).
Certamen 2 (C2): Martes 30 de Noviembre de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 0$ a $\S 31$, con énfasis en $\S 22$ a $\S 31$. Guía 2 de Ejercicios (incluyendo la última sección).
Tarea (T): Viernes 17 de Diciembre de 2021.
Examen Global (E): Semana del 27 al 30 de Diciembre de 2021 (horario a determinar).

Instrucciones generales:

Cálculo de Nota Final: La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.3 C1 + 0.14 Q1 + 0.3 C2 + 0.13 Q2 + 0.13 T. Estudiantes cuya nota final sea estrictamente inferior a 55 y estrictamente superior a 39, y con al menos una nota de certamen (C1 o C2) mayor o igual a 55, tendrán derecho a un Examen Global (escrito, evaluando todos los contenidos del curso), cuya ponderación será de 65%, para optar a aprobar MAT214 con nota 55. En caso de no aprobar el Examen Global, se mantendrá su nota final NF original. Más precisamente, la Nota Definitiva ND para quienes deban rendir el Examen Global se calcula de acuerdo a la fórmula: $$\mbox{ND}=\min\{55,\max(\mbox{NF},0.35\cdot \mbox{NF}+0.65\cdot \mbox{E})\}. $$
Rendición de Certamenes y Examen Global: Tanto los Certamenes como el Examen Global estarán pensados para ser resuelto en 3 horas en condiciones normales. Sin embargo, debido al contexto actual, estos serán publicados en AULA a las 10:00 horas del día correspondiente y deberá ser entregado a más tardar a las 22:00 horas del mismo día a través de AULA en un único archivo PDF con la resolución de la evaluación escrita a mano, justificando de forma clara, concisa y ordenada. No será necesario conectarse a Zoom durante ese periodo, sin embargo no se aceptarán entregas luego de las 22:00. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
Rendición de Controles: Los Controles estarán pensados para ser resueltos en 1 hora en condiciones normales. Sin embargo, debido al contexto actual, estos serán publicados en AULA a las 17:00 horas del día correspondiente y deberá ser entregado a más tardar a las 21:00 horas del mismo día a través de AULA en un único archivo PDF con la resolución de la evaluación escrita a mano, justificando de forma clara, concisa y ordenada. No será necesario conectarse a Zoom durante ese periodo, sin embargo no se aceptarán entregas luego de las 21:00. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
Plagio: Se podrá utilizar los apuntes del curso durante las evaluaciones, pero sólo se supodrán conocidas las nociones y resultados vistos en cátedra y ayudantía, y todo argumento utilizando resultados adicionales no justificados (e.g. ejercicios propuestos) no será considerado. Tanto los Certamenes como el Examen Global son de caracter individual, y los grupos para las Tareas sólo podrán discutir entre sus integrantes. En todas las evaluaciones donde haya sospecha de copia, plagio de respuestas de Internet, utilización de software para efectuar cálculos (a menos que se especifique lo contrario), y/o cualquier situación de fraude académico serán calificadas con nota cero y comunicadas a las instancias pertinentes. Cabe destacar que AULA cuenta con un sistema de detección de plagio.
Ausencia a Certamen: Entendiendo el contexto excepcional relacionado a la pandemia del COVID-19, estudiantes que no puedan rendir un certarmen por motivos de fuerza mayor deberán contactarme a la brevedad (y, dentro de lo posible, adjuntar certificado médico visado por el servicio médico de la UTFSM) para poder reemplazar la nota del Certamen no rendido por la nota del Examen Global. Quien no rinda dos certámenes, independientemente de la justificación, no podrá aprobar la asignatura.

Clases (referencial) en Video y PDF

26/08/2021: Presentación del curso y Consultas sobre Prerrequisítos (ver también la Clase 0): Preliminares, Sucesiones, Topología de $\mathbb{C}$, y Funciones continuas.
31/08/2021: Funciones holomorfas. Series de potencias (parte 1). Ver también aquí (recuerdo sobre límite inferior).
02/09/2021: Series de potencias (parte 2).
07/09/2021: Funciones complejas elementales. Logaritmo complejo.
09/09/2021: Diferenciabilidad y Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Operador Laplaciano y funciones armónicas.
21/09/2021: Integración de $1$-formas diferenciales y Teorema de Green (parte 1).
23/09/2021: Integración de $1$-formas diferenciales y Teorema de Green (parte 2). Teoremas de Cauchy y Goursat. Fórmula de Cauchy y Fórmula de Pompeiu.
28/09/2021: Diferenciabilidad de funciones holomorfas y Teorema de Morera. Desigualdad de Cauchy y Teorema de Liouville.
30/09/2021: Funciones analíticas. Ceros de funciones holomorfas. Extensión analítica.
05/10/2021: Teorema de la aplicación abierta.
07/10/2021: Principio del máximo y Lema de Schwarz. Espacios de Fréchet y convergencia de funciones holomorfas (parte 1).
12/10/2021: Espacios de Fréchet y convergencia de funciones holomorfas (parte 2). Derivación bajo el signo integral y Función $\Gamma$ de Euler (parte 1).
14/10/2021: Derivación bajo el signo integral y Función $\Gamma$ de Euler (parte 2). Productos infinitos de funciones holomorfas (parte 1).
26/10/2021: Productos infinitos de funciones holomorfas (parte 2). Series de Laurent (parte 1).
28/10/2021: Series de Laurent (parte 1). Singularidades aisladas y Teorema de Casorati-Weierstrass.
02/11/2021: Funciones meromorfas y Teorema de factorización de Weierstrass.
02/11/2021: Teorema de residuos. Cálculo de integrales reales mediante residuos (parte 1).
09/11/2021: Cálculo de integrales reales mediante residuos (parte 2).
11/11/2021: Transformada de Fourier y la clase $\mathcal{F}$. Transformada inversa de Fourier y fórmula de Poisson (parte 1).
16/11/2021: Transformada inversa de Fourier y fórmula de Poisson (parte 2). Teorema de Phragmén-Lindelöf y Teorema de Paley-Wiener (parte 1).
18/11/2021: Teorema de Phragmén-Lindelöf y Teorema de Paley-Wiener (parte 2). Espacio de Schwartz y Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales Parciales (parte 1).
23/11/2021: Espacio de Schwartz y Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales Parciales (parte 2).
25/11/2021: Homotopía y grupo fundamental. Homología singular. Material adicional: Algebraic Topology (por Allen Hatcher).
02/11/2021: Dominios estrellados y Lema de Poincaré. Integración sobre conjuntos símplemente conexos.
07/12/2021: Índices y Teorema de Residuos generalizado.

Ayudantía (referencial)

Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias. Todas las correcciones serán realizadas paralelamente en el Apunte del curso y en las presentaciones de clases.

$\S 1$ y $\S 2$, Error de atribución: Al final de la $\S 1$ (página 2), atribuí erroneamente el resultado que afirma que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{\operatorname{eucl}})$ es un espacio completo a Bolzano y Weierstrass. Sin embargo, el Teorema de Bolzano-Wierstrass hace referencia a la caracterización de compacidad en términos de sucesiones que se menciona en la $\S 2$ (página 4). La completitud de $\mathbb{R}^n$ es consecuencia de la construcción misma de $\mathbb{R}$ a partir de sucesiones de Cauchy de números racionales.
$\S 4$, pág 7, Ejemplo 7: En la pénultima línea, "$\lim\limits_{h\to 0}\left(z_0+\overline{h}+z_0 \frac{\overline{h}}{h}\right)$" debería ser "$\lim\limits_{h\to 0}\left(\overline{z_0}+\overline{h}+z_0 \frac{\overline{h}}{h}\right)$".
$\S 5$, pág 9, Teorema: La definición de radio de convergencia debiese ser "$R=\sup \{r\geq 0 \mbox{ tal que la sucesión }\{|a_n|r^n\}_{n\geq 0} \mbox{ es acotada}\}$" (faltó incluir el supremo).
$\S 7$, pág 18, Proposición: La región "$\Omega_{z_0}$" debiese ser "$\Omega_{\theta_0}$".
$\S 15$, pág 38, Demostración del Teorema, línea 7: "$\frac{1}{w-z_0}\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{z-z_0}{w-w_0} \right)^n$" debería ser "$\frac{1}{w-z_0}\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{z-z_0}{w-z_0} \right)^n$".
$\S 16$, pág 40, Demostración del Teorema, línea 4: "Si $z_0\in \Omega$ debería ser "Si $z_0\in X$".
$\S 16$, pág 40, Demostración del Teorema, línea 7: "Como $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ es conexo" debería ser "Como $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ es conexo".

Referencias

P. Montero, Análisis Complejo. Ver PDF (en construcción).
E. Stein y R. Shakarchi, Complex Analysys. Referencia principal, complementaria al Apunte Oficial.
E. Stein y R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction. Útil para Análisis de Fourier.
L. Bonavero y J.-P. Demailly, Analyse Complexe (en francés). Ver AQUI. Útil para funciones armónicas y sub-armónicas (tópico adicional, si el tiempo lo permite).

W. Rudin, Real and Complex Analysis.
L. Ahlfors, Complex Analysis.
H. Cartan, Théorie Elémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (en francés).
E. Amar y E. Matheron, Analyse complexe (en francés).
J. Bak y D. Newman, Complex Analysis.
S. Krantz, Partial Differential Equations and Complex Analysis.

Información Práctica

Nos reuniremos todos los Martes de 9:35 a 10:45 y Jueves de 9:35 a 10:35, y tendremos varias sesiones de consulta y discusión los Viernes de 17:10 a 18:20. El horario de ayudantía será los Martes de 17:10 a 18:20. Todas las sesiones serán por Zoom (el link será enviado por correo).

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