MAT214 (Estructuras algebraicas)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

Pedro Montero
Oficina: F-247
Horario de clases: Lunes de 12:15 a 13:25 y Miércoles de 12:15 a 13:25.
Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00 por e-mail y Viernes de 17:10 a 18:20 por Zoom.
Ayudantía: Cristóbal Montecino, Lunes de 17:10 a 18:20.

Calendario Académico

El curso MAT214 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2021-1 a considerar son las siguientes:

Inicio del Primer Semestre 2021: Jueves 1 de Abril.
Vacaciones de Mayo: Lunes 17 de Mayo al Sábado 22 de Mayo. El día Lunes 24 de Mayo se retoman las actividades académicas.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 28 de Junio.
Desinscripciones: Viernes 2 de Julio, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
Vacaciones de Invierno: Lunes 12 de Julio al Lunes 19 de Julio. El día Martes 20 de Julio se retoman las actividades académicas.
Término del Primer Semestre 2021: Viernes 13 de Agosto.

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Nuevo Texto de divulgación: ¿Cuál es el papel del Álgebra en la Matemática Aplicada?, por David A. Cox.

Nuevo Horario de Ayudantías: El horario de Ayudantía será el Lunes de 17:10 a 18:20, y la primera sesión será el día Lunes 12 de Abril.

Importante: Deben leer antes de la primera clase el Capítulo 1 (Prerrequisitos) del apunte del curso, que recuerda contenidos de cursos anteriores: Ver aquí (PDF) y aquí (Video). Alternativamente, ver los videos de MAT060 (correspondiente a contenidos del primer semestre de primer año) relacionados con grupos, anillos y cuerpos, relaciones de equivalencia y cocientes, y la construcción del cuerpo $\mathbb{F}_p=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\cdot)$, y ver el video de MAT210 (correspondiente a contenidos del primer semestre de segundo año) sobre Permutaciones.

Horarios: Lunes de 12:15 a 13:25 y Miércoles de 12:15 a 13:25, y tendremos varias sesiones de Horario de Consultas (al menos una al mes, asistencia voluntaria) los Viernes de 17:10 a 18:20. El horario de ayudantía será determinado posteriormente.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.

Prerrequisitos y Apunte

Gran parte del curso estará basado en el Apunte Oficial del curso: Ver aquí. ¡Atención! Este apunte sufrirá modificaciones a lo largo del semestre (correcciones, aclaraciones, ejemplos, etc), por lo que se recomienda no imprimirlo.

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Álgebra Lineal. En particular, la operatoria básica de aplicaciones lineales (y sus matrices asociadas) y espacios vectoriales, así como diagonalización de endomorfismos. Además, será importante para la parte de Teoría de Representaciones el recordar propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí. Dado que los contenidos referentes a tensores no son cubiertos todos los años, no lo asumiremos y serán recordados llegado el momento.

Material Adicional

GAP y Macaulay2: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener una ayuda computacional. Personalmente uso y recomiendo mucho el software libre GAP (Groups, Algorithms, Programming) para cálculos relacionados a grupos finitos y sus representaciones, y Macaulay2 para cálculos relacionados a anillos y módulos. La versión online de Macaulay2 puede encontrarse aquí. Ver también el libro de D. Eisenbud, D. R. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels "Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2" donde pueden encontrar muchos ejemplos detallados para Macaulay 2, así como los Tutoriales en inglés y español para GAP.

Tensores en matemática y física: Una excelente referencia para complementar el estudio de tensores y formas diferenciales es el libro de Paul Renteln "Manifolds, Tensors and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists".

Escritura en $\LaTeX$: El desarrollo de las Tareas debe ser escrito en computador y preferentemente en LaTeX (mucho mejor que Word, y además es software libre). Para usarlo pueden hacer lo siguiente:

Opción 1: Instalar MikTeX (recomiendo la versión completa, sino después hay que preocuparse de instalar paquetes que falten) y luego bajar un editor de LaTeX (yo uso Texmaker, pero hay muchas opciones).
Opción 2: Usar Overleaf, una página donde hay plantillas de LaTeX y se puede escribir sin tener nada instalado, dejando todo guardado en la página. Sólo necesitan crear un usuario aquí.

Típicamente uno aprende $\LaTeX$ por ensayo y error, por lo que es recomendable prácticar bastante para que la escritura tome menos tiempo. De todas maneras, aquí hay más material complementario:

Algunos de los símbolos más comunes (Texmaker también tiene una barra de herramientas que los incluye): Ver aquí.
Detexify les permite identificar símbolos sólo dibujándolos: Ver aquí.
Mathpix Snip permite extraer fórmulas de un pdf o de una imagen: Ver aquí.
MathCha permite dibujar y exportar el resultado a LaTeX o imagen: Ver aquí.
Guía rápida de LaTeX: Ver aquí.
Foro de LaTeX (en inglés): Ver aquí.

Fotos a PDF: El desarrollo de los Certámenes y Examen Global debe ser escrito a mano y subido a AULA en un único PDF. Si no cuentan con un escaner, les recomiendo que usen un celular con cámara para sacar una foto de su desarrollo y que usen, por ejemplo, la siguiente página gratuita para convertir sus fotos a PDF y luego unir los diferentes PDF en un único PDF: iLovePDF (Opciones a mirar antes del día del Certamen: "JPG a PDF" y "Unir PDF"). Otra alternativa son las aplicaciones para escanear usando el celular: Pueden encontrar muchas aplicaciones gratuitas buscando "scanner app free".

Descripción y Evaluación

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes aprendan herramientas y técnicas relacionadas a la teoría de grupos, de anillos y de cuerpos, las cuales son necesarias para la formación general de estudiantes en matemáticas. Así mismo, serán capaces de identificar conexiones con problemas físicos y matemáticos. Para ello estudiarán en detalle la noción de grupo, sus diferentes propiedades y teoremas de clasificación. Finalmente, indagarán en las nociones de anillos y cuerpos, los cuales poseen propiedades adicionales a las de los grupos gracias a su estructura multiplicativa.

De manera más general, el Álgebra Abstracta (otro nombre comúnmente usado para este curso) es un área de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas tales como grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y módulos. La importancia y alcance del álgebra abstracta se aprecia incluso en su propio nombre: nos brinda un contexto general en el cual podremos estudiar diversos objetos matemáticos de manera conjunta y abstracta, sin considerar necesariamente casos particulares. Por ejemplo, la multiplicación de números reales no-nulos, las simetrías de una molécula qúimica, las raíces de un polinomio, los movimientos de un cubo Rubik, y las curvas cerradas en una superficie que aparecen típicamente en cálculo vectorial: ¡todas ellas pueden ser dotadas de una estructura de grupo!

Explorando la teoría de grupos de manera abstracta, podemos obtener propiedades y estructuras que se aplican a todos los ejemplos mencionados anteriormente o que podamos descubrir en el futuro. Con esto en mente, no debería ser una sorpresa que el álgebra abstracta constituye un lenguaje extremadamente útil que puede ser usado prácticamente en todas las áreas de la matemática (e incluso en varias ramas de la física, química, criptografía, etc). Un texto recomendado en esa dirección es el artículo ¿Cuál es el papel del Álgebra en la Matemática Aplicada?, por David A. Cox.

Las aplicaciones del álgebra abstracta tanto dentro como fuera de las matemáticas no son la única razón importante para estudiarla. Primero, aprender el formalismo detrás del álgebra abstracta es una de las mejores maneras de ganar práctica en trabajar conceptos complejos y en desarrollar sus habilidades de razonamiento abstracto. Segundo, el estudiar álgebra abstracta les permitirá acercarse a una parte importante del quehacer cotidiano al hacer investigación matemática: muchas veces para obtener resultados novedosos no es necesario realizar muchos cálculos sino más bien identificar diversos resultados fundamentales y sus consecuencias en los casos particulares que nos interesan. Finalmente, y probablemente lo más importante, es que podrán experimentar la belleza intrínseca de la matemática: si bien la estética detrás del álgebra abstracta es usualmente difícil de describir, es algo prácticamente obvio e innegable para cualquiera de sus practicantes.

Concretamente, discutiremos sobre:

Teoría de grupos.
Representaciones de grupos finitos.
Anillos, cuerpos y módulos.
Tópicos adicionales (si el tiempo lo permite): Curvas planas.

La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes y 3 tareas. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes (sujeto a modificaciones hasta el 22 de abril de 2021, de acuerdo a Calendario Académico):

Entrega Tarea 1 (T1): Viernes 14 de Mayo de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 1$ a $\S 16$ (incluídas).
Certamen 1 (C1): Sábado 29 de Mayo de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 1$ a $\S 25$ (incluídas).
Entrega Tarea 2 (T2): Viernes 9 de Julio de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 1$ a $\S 37$ (incluídas).
Certamen 2 (C2): Sábado 24 de Julio de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 1$ a $\S 42$ (incluídas).
Entrega Tarea 3 (T3): Miércoles 4 de Agosto de 2021. Contenidos a evaluar: $\S 1$ a $\S 43$ (incluídas).
Examen Global (E): Jueves 12 de Agosto de 2021.

Instrucciones generales:

Cálculo de Nota Final: La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.3 C1 + 0.15 T1 + 0.3 C2 + 0.15 T2 + 0.1 T3. Estudiantes cuya nota final sea estrictamente inferior a 55 y estrictamente superior a 39, y con al menos una nota de certamen (C1 o C2) mayor o igual a 55, tendrán derecho a un Examen Global (escrito, evaluando todos los contenidos del curso), cuya ponderación será de 65%, para optar a aprobar MAT214 con nota 55. En caso de no aprobar el Examen Global, se mantendrá su nota final NF original. Más precisamente, la Nota Definitiva ND para quienes deban rendir el Examen Global se calcula de acuerdo a la fórmula: $$\mbox{ND}=\min\{55,\max(\mbox{NF},0.35\cdot \mbox{NF}+0.65\cdot \mbox{E})\}. $$
Rendición de Certamenes y Examen Global: Tanto los Certamenes como el Examen Global estarán pensados para ser resuelto en 3 horas en condiciones normales. Sin embargo, debido al contexto actual, estos serán publicados en AULA a las 10:00 horas del día correspondiente y deberá ser entregado a más tardar a las 22:00 horas del mismo día a través de AULA en un único archivo PDF con la resolución de la evaluación escrita a mano, justificando de forma clara, concisa y ordenada. No será necesario conectarse a Zoom durante ese periodo, sin embargo no se aceptarán entregas luego de las 22:00. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
Entrega de Tareas: Las tareas se publicarán al menos 2 semanas antes de la fecha de entrega de las mismas. Las primeras dos tareas estarán asociadas a los Certamenes correspondientes y la tercera tarea cubrirá tópicos adicionales y/o no cubiertos en las evaluaciones anteriores. La entrega de Tareas se realizará a través de AULA hasta las 23:59 horas del día de entrega, en un único archivo PDF con la resolución de la tarea escrita preferentemente en LaTeX (o Word) y podrá ser realizada individualmente o en grupos de a lo más dos personas. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
Plagio: Se podrá utilizar los apuntes del curso durante las evaluaciones, pero sólo se supodrán conocidas las nociones y resultados vistos en cátedra y ayudantía, y todo argumento utilizando resultados adicionales no justificados (e.g. ejercicios propuestos) no será considerado. Tanto los Certamenes como el Examen Global son de caracter individual, y los grupos para las Tareas sólo podrán discutir entre sus integrantes. En todas las evaluaciones donde haya sospecha de copia, plagio de respuestas de Internet, utilización de software para efectuar cálculos (a menos que se especifique lo contrario), y/o cualquier situación de fraude académico serán calificadas con nota cero y comunicadas a las instancias pertinentes. Cabe destacar que AULA cuenta con un sistema de detección de plagio.
Ausencia a Certamen: Entendiendo el contexto excepcional relacionado a la pandemia del COVID-19, estudiantes que no puedan rendir un certarmen por motivos de fuerza mayor deberán contactarme a la brevedad (y, dentro de lo posible, adjuntar certificado médico visado por el servicio médico de la UTFSM) para poder reemplazar la nota del Certamen no rendido por la nota del Examen Global. Quien no rinda dos certámenes, independientemente de la justificación, no podrá aprobar la asignatura.

Clases (referencial) en Video y PDF

31/03/2021: Presentación del curso y Consultas sobre Preliminares (ver también la Clase 0).
05/04/2021: Definiciones básicas y Ejemplos de grupos. Sub-grupos y generadores (parte 1). Ver Pizarra.
07/04/2021: Sub-grupos y generadores (parte 2). Morfismos de grupos. Clases laterales. Teorema de Lagrange. Ver Pizarra.
12/04/2021: Sub-grupos normales. Cocientes y su propiedad universal (parte 1). Ver Pizarra.
14/04/2021: Cocientes y su propiedad universal (parte 2). Acción de un grupo sobre un conjunto. Órbitas (parte 1). Ver Pizarra.
19/04/2021: Órbitas (parte 2). Conjugación. Fórmula de clases y p-grupos (parte 1). Ver Pizarra.
21/04/2021: Fórmula de clases y p-grupos (parte 2). Teoremas de Sylow. Teorema chino del resto. Ver Pizarra.
26/04/2021: Grupos abelianos finitamente generados. Grupos simples y series de composición (parte 1). Ver Pizarra.
28/04/2021: Grupos simples y series de composición (parte 2). Ver Pizarra.
03/05/2021: Representaciones lineales. Sub-representaciones y morfismos. Ver Pizarra.
05/05/2021: Representaciones irreducibles. Producto tensorial de espacios vectoriales. Ver Pizarra.
10/05/2021: Caracteres. Lema de Schur. Ver Pizarra.
12/05/2021: Ortogonalidad de caracteres. Caracteres y funciones centrales. Tablas de caracteres. Ver Pizarra.
24/05/2021: Anillos y cuerpos. Álgebras. Dominios de integridad y cuerpo de fracciones. Ver Pizarra.
26/05/2021: Ideales y cocientes. Ideales primos e ideales maximales. Ver Pizarra.
31/05/2021: Elementos irreducibles. Ideales radicales y anillos reducidos. Anillos noetherianos. Teorema de la base de Hilbert. Ver Pizarra.
02/06/2021: Conjuntos algebraicos afines. Hilbert Nullstellensatz. Topología de Zariski (parte 1). Ver Pizarra.
07/06/2021: Topología de Zariski (parte 2). Morfismos regulares. Álgebra de funciones regulares. Ver Pizarra.
09/06/2021: Ejemplos explícitos. Geometría de ideales y Espectro maximal. Morfimos entre cocientes y teorema chino del resto. Ver Pizarra.
14/06/2021: Módulos sobre un anillo (primeras definiciones). Módulos cocientes. Operaciones sobre sub-módulos (parte 1). Ver Pizarra.
16/06/2021: Operaciones sobre sub-módulos (parte 2). Módulos finitamente generados y módulos libres. Teorema de Cayley-Hamilton y Lema de Nakayama (parte 1). Ver Pizarra.
23/06/2021: Teorema de Cayley-Hamilton y Lema de Nakayama (parte 2). Ver Pizarra.
30/06/2021: Sucesiones exactas y complejos. Formas diferenciales y cohomología de de Rham. Ver Pizarra.
05/07/2021: Módulos proyectivos e inyectivos. Lema de la serpiente. Ver Pizarra.
07/07/2021: Producto tensorial de módulos. Exactitud a la derecha del producto tensorial. Ver Pizarra.
21/07/2021: Localización de anillos y módulos. Ver Pizarra.
26/07/2021: Curvas planas afines. Multiplicidad de intersección (parte 1). Ver Pizarra.
28/07/2021: Multiplicidad de intersección (parte 2). Finitud y cálculo de intersecciones. Ver Pizarra.
02/08/2021: Puntos suaves e intersección transversal. Criterio Jacobiano. Local versus Global (parte 1). Ver Pizarra.
04/08/2021: Local versus Global (parte 2). Curvas planas proyectivas y Teorema de Bézout. Ver Pizarra.

Ayudantía (referencial)

12/04/2021: Ayudantía 1.
19/04/2021: Ayudantía 2.
26/04/2021: Ayudantía 3.
03/05/2021: Ayudantía 4.
10/05/2021: Ayudantía 5.
24/05/2021: Ayudantía 6.
31/05/2021: Ayudantía 7.
07/06/2021: Ayudantía 8.
14/06/2021: Ayudantía 9.
05/07/2021: Ayudantía 10.

Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias. Todas las correcciones serán realizadas paralelamente en el Apunte del curso y en las presentaciones de clases.

Clase 0, Pizarra 13, Demostración de Lema 1.2.15: "${\displaystyle \prod_{i < j}\left(\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\right)^2 = \prod_{i\neq j}\left(\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\right)^2}$" debería ser "${\displaystyle \prod_{i < j}\left(\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\right)^2 = \prod_{i\neq j}\left(\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\right)}$".
Clase 1, Pizarra 10, Ejemplo 3: "$D_n=\{e=I_2,r,\ldots,r^{n-1},rs,\ldots,r^{n-1}s\}$" debería ser "$D_n=\{e=I_2,r,\ldots,r^{n-1},s,rs,\ldots,r^{n-1}s\}$". En otras palabras, faltó incluir la reflexión $s$, que si es parte del grupo diedral.
Clase 3, Pizarra 3, última línea: La igualdad "$G/H = G/H$" (que acompaña a los dibujos) debería ser "$G/H=H\backslash G$".
Clase 7, Pizarra 2, Demostración de Proposición 2.4.4: La clase "$[a_r]$" en $\mathbb{Z}^r/(\mathbb{Z}^{r-1}\times \{0\})\cong \mathbb{Z}$ debiese ser en estricto rigor "$[(0,\ldots,0,a_r)]$" (en clases usamos el isomorfismo $\mathbb{Z}^r/(\mathbb{Z}^{r-1}\times \{0\})\cong \mathbb{Z}$ implícitamente; con esta observación, el morfismo corresponde a $(a_1,\ldots,a_r)\mapsto a_r$).
Clase 7, Pizarra 5, Demostración de Teorema 2.4.7, Penúltima línea: "$r>n$" debería ser "$n>r$" (al argumentar por contradicción).
Clase 7, Lema útil: La reducción de una matriz con coeficientes enteros a la matriz donde aparecen sólo los factores invariantes (i.e., el "Lema útil") es usualmente conocida como Forma normal de Smith. Ver aquí para una prueba y aquí para un recuento histórico.
Clase 9, Pizarra 2, Definición de Representación fiel: "$\rho:G\hookrightarrow V$" debería ser "$\rho:G\hookrightarrow \operatorname{GL}(V)$".
Clase 10, Pizarra 10, Base de $\Lambda^2 V$: "$\{e_i\wedge e_j\}_{1\leq i\leq j \leq n}$" debería ser "$\{e_i\wedge e_j\}_{1\leq i < j \leq n}$". Esto pues si $i=j$ entonces $e_i\wedge e_i = 0$.

Referencias

P. Montero, Álgebra Abstracta. Ver PDF.
D. Dummit y R. Foote, Abstract Algebra. Referencia principal, complementaria al Apunte Oficial.
J. B. Fraleigh, Álgebra abstracta. Útil para Teoría de Grupos y Anillos.
A. Gathmann, Commutative Algebra. Ver AQUI. Útil para Teoría de Anillos y Módulos.
A. Gathmann, Plane Algebraic Curves. Ver AQUI. Útil para Teoría de Curvas Planas (tópico adicional, si el tiempo lo permite).

T. W. Hungerford, Algebra.
S. Lang, Algebra.
J.-P. Serre, Linear representations of finite groups.
W. Fulton y J. Harris, Representation theory.
M. Atiyah y I. Macdonald, Introduction to commutative algebra.
O. Debarre, Algèbre 1 y Algèbre 2 (en francés).

Información Práctica

Nos reuniremos todos los Lunes de 12:15 a 13:25 y Miércoles de 12:15 a 13:25, y tendremos varias sesiones de consulta y discusión los Viernes de 17:10 a 18:20. El horario de ayudantía será los Lunes de 17:10 a 18:20. Todas las sesiones serán por Zoom (el link será enviado por correo).

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