MAT250 (Topología)
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)
Profesor:
- Pedro Montero
- Oficina: F-250
- Horario de clases: Jueves de 15:50 a 17:00 y Viernes de 12:15 a 13:25.
- Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00.
- Ayudantía: Sebastián Fuentes, Horario por definir.
Índice
Calendario Académico
El curso MAT250 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2024-1 a considerar son las siguientes:
- Inicio del Semestre 2024-1: Lunes 11 de Marzo.
- Desinscripciones (sin botón de pánico): Viernes 29 de Marzo.
- Semana Mechona: Martes 26 de Marzo a Jueves 28 de Marzo, desde las 10:55 horas en adelante.
- Feriado (fuera de vacaciones): Miércoles 1 de Mayo.
- Semana de Vacaciones: Lunes 20 de Mayo a Viernes 24 de Mayo. El día Lunes 27 de Mayo se retoman las actividades académicas (colchón académico lunes y martes).
- Desinscripciones (botón de pánico): Viernes 14 de Junio, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
- Feriado (fuera de vacaciones): Jueves 20 de Junio.
- Término del Semestre 2024-1: Viernes 12 de Julio.
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Apunte de MAT250: Durante el semestre escribiré un Apunte oficial (a mano) para el curso. Podran descargar la última versión AQUÍ, que se irá actualizando a lo largo del semestre.
Horarios: Nos reuniremos todos los Jueves de 15:50 a 17:00 y Viernes de 12:15 a 13:25, y habrá ayudantías semanales en un horario por confirmar.
Se recomienda fuertemente repasar antes de la primera clase toda la Parte III del Apunte de Análisis I del Profesor Pedro Gajardo, sobre Espacios Topológicos (ver aquí). Alternativamente, pueden consultar el apunte complementario sobre Preliminares de Topología y Análisis (ver aquí) que además contiene bastantes ejercicios propuestos.
También será útil recordar las propiedades básicas sobre Teoría de Grupos. Pueden encontrar clases en YouTube y material adicional aquí.
Prerrequisitos
La audiencia debe tener buena base en Análisis I (MAT225), así como conocimientos de teoría de grupos (MAT214) en ciertas partes del curso.
Material Adicional
Analysis Situs (en francés): Entre 1895 y 1904, Henri Poincaré fundó la Topología Algebraica (en su momento, llamada Analysis Situs) en una serie de 6 volúmenes revolucionarios. Dichas obras, así como numerosos ejemplos interesantes y cursos formales, se pueden encontrar (en francés) aquí.
Descripción
El objetivo de este curso es que las y los estudiantes se introduzcan a la topología algebraica. Más precisamente, la topología moderna (i.e., topología algebraica) busca construir "functores" desde la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos (o de módulos sobre un anillo). Aquí, un functor covariante es una regla $F$ tal que
- A todo espacio topológico $X$ asocia un grupo $F(X)$.
- A toda función continua $f:X\to Y$ asocia $F(f):F(X)\to F(Y)$ un morfismo de grupos tal que $F(\operatorname{Id}_X)=\operatorname{Id}_{F(X)}$ y dónde $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$.
En particular, si $f:X\xrightarrow{\sim}Y$ es un homeomorfismo entonces $F(X)\cong F(Y)$ son grupos isomorfos.
El objetivo de este curso es introducir las nociones básicas de la topología algebraica. En particular, pasaremos buena parte del semestre construyendo ejemplos interesantes del principio general descrito en el párrafo anterior: construiremos el primer grupo fundamental $\pi_1(X,x_0)$ y discutiremos su relación con la teoría de espacios de revestimientos (en inglés, covering spaces), construiremos los grupos de homología $\operatorname{H}_i(X,\mathbb{Z})$ y los grupos de cohomología $\operatorname{H}^i(X,\mathbb{Z})$, y probaremos aplicaciones importantes como el Teorema del Punto Fijo de Brouwer y el Teorema del Punto Fijo de Lefschetz. Para terminar, daremos una introducción a la Teoría de Homotopía, que busca comprender los grupos de homotopía superiores $\pi_i(X,x_0)$ con $i\geq 2$.
Concretamente, discutiremos sobre:
- Grupo fundamental y espacios de revestimiento.
- Homología.
- Cohomología.
La evaluación de este curso se realizará mediante 7 tareas individuales. La nota final NF se calculará considerando el promedio entre las notas de las 6 mejores tareas.
- Entrega Tarea 1 (T1): Domingo 31 de Marzo de 2024.
- Entrega Tarea 2 (T2): Lunes 15 de Abril de 2024.
- Entrega Tarea 3 (T3): Jueves 2 de Mayo de 2024.
- Entrega Tarea 4 (T4): Viernes 17 de Mayo de 2024.
- Entrega Tarea 5 (T5): Miércoles 5 de Junio de 2024.
- Entrega Tarea 6 (T6): Miércoles 19 de Junio de 2024.
- Entrega Tarea 7 (T7): Domingo 7 de Julio de 2024.
Clases (referencial)
- 14/03/2024: Motivación y Preliminares. Homotopía (parte 1).
- 15/03/2024: Homotopía (parte 2). Caminos y Lazos (parte 1).
- 21/03/2024: Caminos y Lazos (parte 2). Grupo fundamental (parte 1).
- 22/03/2024: Grupo fundamental (parte 2).
- 28/03/2024: Semana Mechona.
- 29/03/2024: Feriado.
- 04/04/2024: Revestimientos topológicos (parte 1).
- 05/04/2024: Revestimientos topológicos (parte 2).
- 11/04/2024: Revestimientos topológicos (parte 3). Cálculo de $\pi_1(\mathbf{S}^1,1)$.
- 12/04/2024: Revestimientos universales.
- 18/04/2024: La correspondencia de Galois. Grupos libres y producto amalgamado. Clase recuperativa de 1h45.
- 19/04/2024: Teorema de Seifert-van Kampen (parte 1).
- 22/04/2024: Teorema de Seifert-van Kampen (parte 2). Grupos de homotopía superiores. Clase recuperativa de 1h45.
- 25/04/2024: Sin clases (Jornada Matemática Zona Sur).
- 26/04/2024: Sin clases (Jornada Matemática Zona Sur).
- 02/05/2024: Homología simplicial (parte 1).
- 03/05/2024: Homología simplicial (parte 2). Homología singular (parte 1).
- 09/05/2024: Homología singular (parte 2). Homología reducida. Invarianza homotópica de la homología singular (parte 1).
- 10/05/2024: Invarianza homotópica de la homología singular (parte 2). Herramientas de Álgebra Homológica.
- 16/05/2024: Homología relativa. Teorema de Excisión y sus aplicaciones (parte 1).
- 17/05/2024: Teorema de Excisión y sus aplicaciones (parte 2).
- 23/05/2024: Vacaciones.
- 24/05/2024: Vacaciones.
- 30/05/2024: Isomorfismo entre homologías singular y simplicial.
- 31/05/2024: Sucesión de Mayer-Vietoris.
- 06/06/2024: Cohomología y Teorema del coeficiente universal (parte 1).
- 07/06/2024: Cohomología y Teorema del coeficiente universal (parte 2).
- 13/06/2024: Producto cup y anillo de cohomología (parte 1).
- 14/06/2024: Producto cup y anillo de cohomología (parte 2). Fórmula de Künneth (parte 1).
- 17/06/2024: Fórmula de Künneth (parte 2). Dualidad de Poincaré (parte 1).
- 20/06/2024: Feriado.
- 27/06/2024: Dualidad de Poincaré (parte 2).
- 28/06/2024: Dualidad de Poincaré (parte 3).
Ayudantía (referencial)
Errata
En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias.
- $\S 18$, página 22, Ejemplo importante: El ejemplo muestra que si $\mathbf{S}^n \simeq \mathbf{S}^m$ (i.e., son homotópicamente equivalentes) entonces $n=m$. Sin embargo, y contrariamente a lo que se afirma entre paréntesis, esto no prueba que $\mathbf{R}^n \simeq \mathbf{R}^m$ entonces $n=m$. Esto último es falso, pues ambos espacios son contractibles. Lo que si prueba (usando la compactificación de Alexandrov) es que $\mathbf{R}\cong \mathbf{R}^m$ (i.e., son homeomorfos) entonces $n=m$, pues las compactificaciones de Alexandrov de espacios homeomorfos son homeomorfas (pero no preserva equivalencia homotópica).
Referencias
Otras buenas referencias y fuentes de ejemplos son:
- A. Hatcher, Algebraic Topology.
- W. Fulton, Algebraic Topology: A First Course.
Información Práctica
Nos reuniremos todos los Jueves de 15:50 a 17:00 y Viernes de 12:15 a 13:25, y habrá sesiones semanales de ayudantía en horario por definir.
Humor
