Apunte de MAT250: Durante el semestre escribiré un Apunte oficial (a mano) para el curso. Podran descargar la última versión AQUÍ, que se irá actualizando a lo largo del semestre.Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)
Profesor:
El curso MAT250 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2024-1 a considerar son las siguientes:
Apunte de MAT250: Durante el semestre escribiré un Apunte oficial (a mano) para el curso. Podran descargar la última versión AQUÍ, que se irá actualizando a lo largo del semestre.
Horarios: Nos reuniremos todos los Jueves de 15:50 a 17:00 y Viernes de 12:15 a 13:25, y habrá ayudantías semanales en un horario por confirmar.
Se recomienda fuertemente repasar antes de la primera clase toda la Parte III del Apunte de Análisis I del Profesor Pedro Gajardo, sobre Espacios Topológicos (ver aquí). Alternativamente, pueden consultar el apunte complementario sobre Preliminares de Topología y Análisis (ver aquí) que además contiene bastantes ejercicios propuestos.
También será útil recordar las propiedades básicas sobre Teoría de Grupos. Pueden encontrar clases en YouTube y material adicional aquí.
La audiencia debe tener buena base en Análisis I (MAT225), así como conocimientos de teoría de grupos (MAT214) en ciertas partes del curso.
Analysis Situs (en francés): Entre 1895 y 1904, Henri Poincaré fundó la Topología Algebraica (en su momento, llamada Analysis Situs) en una serie de 6 volúmenes revolucionarios. Dichas obras, así como numerosos ejemplos interesantes y cursos formales, se pueden encontrar (en francés) aquí.
El objetivo de este curso es que las y los estudiantes se introduzcan a la topología algebraica. Más precisamente, la topología moderna (i.e., topología algebraica) busca construir "functores" desde la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos (o de módulos sobre un anillo). Aquí, un functor covariante es una regla $F$ tal que
El objetivo de este curso es introducir las nociones básicas de la topología algebraica. En particular, pasaremos buena parte del semestre construyendo ejemplos interesantes del principio general descrito en el párrafo anterior: construiremos el primer grupo fundamental $\pi_1(X,x_0)$ y discutiremos su relación con la teoría de espacios de revestimientos (en inglés, covering spaces), construiremos los grupos de homología $\operatorname{H}_i(X,\mathbb{Z})$ y los grupos de cohomología $\operatorname{H}^i(X,\mathbb{Z})$, y probaremos aplicaciones importantes como el Teorema del Punto Fijo de Brouwer y el Teorema del Punto Fijo de Lefschetz. Para terminar, daremos una introducción a la Teoría de Homotopía, que busca comprender los grupos de homotopía superiores $\pi_i(X,x_0)$ con $i\geq 2$.
Concretamente, discutiremos sobre:
La evaluación de este curso se realizará mediante 7 tareas individuales. La nota final NF se calculará considerando el promedio entre las notas de las 6 mejores tareas.
Nos reuniremos todos los Jueves de 15:50 a 17:00 y Viernes de 12:15 a 13:25, y habrá sesiones semanales de ayudantía en horario por definir.
