MAT70625 (Cálculo Avanzado para Ingeniería)
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)
- Profesor: Pedro Montero
- Oficina: F-250
- Horario de clases: Lunes de 8:15 a 9:25 (C-238) y Miércoles de 9:40 a 10:50 (P-105).
- Ayudantía: Madeline Castro, Martes de 14:40 a 15:50 (C-235).
Índice
Calendario Académico
El curso MAT70625 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2026-2 a considerar son las siguientes:
- Inicio del Segundo Semestre 2026: Lunes 3 de Agosto.
- Modificaciones de inscripción de asignaturas: hasta el Viernes 14 de Agosto.
- Días Sansanos: Miércoles 12 de Agosto a Viernes 14 de Agosto, suspensión de actividades a partir del bloque 7 (12:30 horas).
- Desinscripciones (sin botón de pánico): Viernes 28 de Agosto.
- Vacaciones: Lunes 14 de Septiembre a Viernes 18 de Septiembre. El día Lunes 21 de Septiembre se retoman las actividades académicas (colchón académico lunes y martes).
- Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 12 de Octubre.
- Puertas Abiertas: Miércoles 14 de Octubre a Sábado 17 de Octubre, suspensión de actividades a partir del bloque 7 (12:30 horas). Suspensión de evaluaciones el día entero.
- Desinscripciones ("botón de pánico"): Viernes 30 de Octubre, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria (RAV).
- Término del Segundo Semestre 2026: Viernes 4 de Diciembre.
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Importante: La nueva sala para los días miércoles es la P-105 (mismo horario).
Importante: Las clases se realizarán los Lunes de 8:15 a 9:25 (Sala C-238) y los Miércoles de 9:40 a 10:50 (Sala P-105).
Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.
Prerrequisitos
Se asumirán conocidos los contenidos de Cálculo en Varias Variables (MAT00225) y de Ecuaciones Diferenciales Elementales (MAT00325). En particular, derivadas parciales y campos vectoriales, integrales de línea y el Teorema de Green en el plano, y la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden a coeficientes constantes.
Pueden encontrar material complementario en el Apunte de MAT024 del Profesor Salomón Alarcón, que cubre parte de estos contenidos.
Material Adicional
Primera parte del curso (EDP): Los contenidos de la Unidad I corresponden esencialmente a la última unidad del curso MAT024, por lo que el material de dicho curso puede ser de utilidad para esta parte.
Segunda parte del curso (Variable compleja y Transformada de Fourier): Las Unidades II y III son una versión más práctica y orientada a la ingeniería del curso MAT235 (Variable Compleja). Si bien nuestro enfoque será bastante menos formal, quienes quieran mirar los mismos temas con más detalle (y sus demostraciones) pueden consultar la versión 2021 de dicho curso AQUI y la versión 2022 de dicho curso AQUI, donde encontrarán apuntes, clases en video y ejercicios.
Descripción y Evaluación
El objetivo de este curso es que las y los estudiantes identifiquen los aspectos esenciales de tres teorías: las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, las funciones de variable compleja y la transformada de Fourier. La idea es que estas herramientas puedan luego ser aplicadas a la resolución de problemas propios de cada especialidad, combinando clases teóricas con la resolución de ejercicios y con problemas representativos de la Matemática, Física e Ingeniería.
Estas tres teorías nacieron por separado durante el siglo XIX, pero hoy en día se usan como una sola caja de herramientas para modelar fenómenos continuos. La idea clave es que un problema a priori difícil (una EDP, una integral real que no sabemos calcular) suele volverse fácil al reinterpretarlo, ya sea separando variables, pasando al plano complejo, o pasando al dominio de frecuencias.
Vale la pena mencionar que las conexiones entre las tres unidades son bastante profundas: las partes real e imaginaria de una función holomorfa son funciones armónicas (y por lo tanto resuelven la ecuación de Laplace), el Teorema de los residuos permite calcular transformadas de Fourier, y la transformada de Fourier convierte derivadas en productos, transformando una EDP en una EDO.
Concretamente, en MAT70625 discutiremos sobre:
- Ecuaciones Diferenciales Parciales: Problemas de Sturm-Liouville. Series de Fourier. Método de separación de variables. Resolución de ecuaciones homogéneas y no homogéneas. Aplicaciones: potenciales, difusión del calor y movimientos vibratorios.
- Funciones de variable compleja: Plano complejo y derivación compleja. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones complejas dadas por series de potencias. Integración en el plano complejo y Teorema de Cauchy-Goursat. Teorema de los residuos y aplicación al cálculo de integrales reales. Aplicaciones: cálculo de transformada inversa de Laplace (integrales de Bromwich), modelamiento de fluidos incompresibles e irrotacionales.
- Transformada de Fourier unidimensional: Transformada de Fourier y su inversa. Transformada de la derivada de una función y de la convolución de funciones. Cálculo de transformadas de Fourier mediante residuos. Aplicaciones: resolución de la ecuación de calor y ecuación de onda.
La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certámenes y 4 controles. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes (sujeto a modificaciones hasta el Miércoles 19 de Agosto de 2026, de acuerdo a Calendario Académico):
- Control 1 (Q1): Martes 8 de Septiembre de 2026. Contenidos: Hasta la Clase 8 (inclusive). Guías de Estudio: Guia 1, Guia 2.
- Certamen 1 (C1): Sábado 26 de Septiembre de 2026. Contenidos: Hasta la Clase 12 (inclusive).
- Control 2 (Q2): Martes 13 de Octubre de 2026. Contenidos: Por definir.
- Certamen 2 (C2): Sábado 24 de Octubre de 2026. Contenidos: Por definir.
- Control 3 (Q3): Martes 10 de Noviembre de 2026. Contenidos: Por definir.
- Control 4 (Q4): Martes 24 de Noviembre de 2026. Contenidos: Por definir.
- Certamen Global (G): Fecha por definir. Contenidos: Temario completo del curso.
Instrucciones generales:
- Cálculo de Nota del Semestre: La nota del semestre NS se calcula de acuerdo a la fórmula
$$\mbox{NS} = 0.75\cdot(\mbox{Promedio de Certámenes}) + 0.25\cdot (\mbox{Promedio de Controles}).$$
La nota mínima de aprobación es 55 (en escala de 0 a 100).
- Certamen Global: Toda persona que se inscriba en los plazos que serán comunicados oportunamente tendrá la opción de rendir el Certamen Global. Si no lo rinde, la nota NS se mantiene. Si lo rinde, la nota obtenida en todo evento reemplazará la peor nota de certamen y se volverá a calcular NS.
- Rendición de Certámenes y Controles: Todas las evaluaciones serán de carácter individual. No se permitirá el uso de celulares, relojes inteligentes, audífonos u otros aparatos electrónicos, así como tampoco el uso de cuadernos, ayudantías o material de estudio personal. Sin embargo, en cada evaluación se entregará un resumen oficial impreso con algunos de los resultados y notaciones más importantes a ser utilizados. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
- Recorrecciones: Las solicitudes de recorrección sólo podrán realizarse al momento de la entrega de la evaluación. Para ello se deberá completar un formulario que será proporcionado en ese momento, donde se deberá fundamentar la solicitud mediante argumentación matemática sobre la validez del desarrollo. No se aceptarán juicios de valor. En caso de inasistencia justificada a la clase o ayudantía donde se entregue la evaluación, el estudiante deberá solicitar a la brevedad una reunión presencial (adjuntando el justificativo correspondiente) para retirar la evaluación y eventualmente solicitar recorrección, con un plazo máximo de una semana luego de resuelta la situación excepcional.
- Situaciones excepcionales: Además de lo establecido en el Reglamento General N°1 y en el Reglamento Institucional de Derechos, Deberes y Disciplina del Estudiantado (Decreto de Rectoría N° 056/2024), quienes no puedan rendir una evaluación por motivos de fuerza mayor deberán contactarme a la brevedad para analizar la validez de la justificación y los documentos de respaldo. De ser pertinente, se evaluará la posibilidad de una evaluación recuperativa o de una modificación excepcional en el cálculo de la nota final.
Clases (referencial)
- 03/08/2026 (Clase 1): Presentación del curso. Definición de EDP, orden, notación ($u_x$, $u_{xx}$, $\nabla u$, $\Delta u$, etc) y Teorema de Schwarz. Diferencias entre EDP y EDO. EDP lineales y homogéneas, y las cuatro ecuaciones clásicas (transporte, calor, onda y Laplace). Principio de superposición. Recuerdo del Teorema de Green y Teorema de la divergencia en el plano. Deducción de la ecuación del calor. Casos particulares: barra unidimensional, régimen estacionario (ecuación de Laplace) y ecuación de transporte. Condiciones iniciales y condiciones de borde.
- 05/08/2026 (Clase 2): Deducción de la Ecuación de Onda. Tipos de EDP de segundo orden (elíptica, parabólica, hiperbólica). Existencia, Unicidad y Estabilidad en el sentido de Hadamard. Desacoplamiento de EDP lineales con condiciones de borde.
- 10/08/2026 (Clase 3): La ecuación de transporte y el método de las características. Ecuación de onda en $\mathbb{R}$ y Solución de d'Alembert para el problema de Dirichlet. Ejemplos y propiedades de soluciones de ecuación de onda. Ecuación de onda en $\mathbb{R}$ no-homogénea.
- 12/08/2026 (Clase 4): Método de separación de variables. Valores y funciones propias para la ecuación de calor. Superposición de soluciones y uso de la condición inicial. Unicidad de soluciones (método de la energía). Ejemplos.
- 17/08/2026 (Clase 5): Problemas de Sturm-Liouville (forma autoadjunta e identidad de Lagrange). Ortogonalidad en $L_w^2(a,b)$ y Teorema espectral. Ejemplos con coeficientes constantes y variables. Valores propios y condiciones de borde.
- 19/08/2026 (Clase 6): Serie de Fourier, desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval. Convergencia puntual y uniforme. Series de Fourier de senos y cosenos.
- 24/08/2026 (Clase 7): Ecuación de onda en un intervalo. Modos y frecuencia. Ejemplos (cuerda pulsada, cuerda golpeada). Fórmula de d'Alembert en un intervalo.
- 26/08/2026 (Clase 8): Ecuación de Laplace. Principio del máximo y unicidad de la Ecuación de Laplace. Ecuación de Laplace en un rectángulo. Ecuación de Laplace en un disco.
- 31/08/2026 (Clase 9): Ejercicios.
- 02/09/2026 (Clase 10): El plano complejo, forma binomial (o cartesiana) y forma polar. Identidad $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. Fórmula de De Moivre y solución de la ecuación $z^n = w$. Lugares geométricos básicos del plano complejo. Funciones de variable compleja y ejemplos importantes: exponencial, seno y coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Logarítmo complejo (y sus diferentes ramas) y la función $z^\alpha$ para $\alpha\in \mathbb{C}$. Definición de la derivada compleja en un punto.
- 07/09/2026 (Clase 11): Derivada compleja y reglas de cálculo. Ecuaciones de Cauchy-Riemann (en coordenadas cartesianas y polares). Relación con funciones armónicas y cálculo de armónica conjugada.
- 09/09/2026 (Clase 12): Series de potencias en una variable compleja y cálculo de radio de convergencia. Funciones analíticas y series de Taylor. Producto y división de series. Multiplicidad de ceros y ceros aislados (aplicación a identidades en variable compleja).
- 21/09/2026 (Clase 13):
- 23/09/2026 (Clase 14):
- 28/09/2026 (Clase 15):
- 30/09/2026 (Clase 16):
- 05/10/2026 (Clase 17):
- 07/10/2026 (Clase 18):
- 14/10/2026 (Clase 19):
- 19/10/2026 (Clase 20):
- 21/10/2026 (Clase 21):
- 26/10/2026 (Clase 22):
- 28/10/2026 (Clase 23):
- 02/11/2026 (Clase 24):
- 04/11/2026 (Clase 25):
- 09/11/2026 (Clase 26):
- 11/11/2026 (Clase 27):
- 16/11/2026 (Clase 28):
- 18/11/2026 (Clase 29):
- 23/11/2026 (Clase 30):
- 25/11/2026 (Clase 31):
Ayudantía (referencial)
Referencias
Nuestras principales referencias serán:
- D. G. Zill y M. R. Cullen, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. Cengage Learning, novena edición. Referencia principal para la Unidad I.
- M. R. Spiegel, Variable Compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, segunda edición. Referencia principal para las Unidades II y III, con muchos ejercicios resueltos.
Otras buenas referencias y fuentes de ejemplos son:
- J. W. Brown y R. V. Churchill, Variable Compleja y Aplicaciones. McGraw-Hill, séptima edición.
- E. Kreyszig, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Volúmenes I y II. Editorial Limusa.
- P. Blanchard, R. L. Devaney y G. R. Hall, Ecuaciones Diferenciales. International Thomson Editores.
- S. Alarcón, Apuntes de MAT024. Útil para la Unidad I y para repasar prerrequisitos.
- P. Montero, Análisis Complejo (MAT235). Versión formal y más avanzada de las Unidades II y III.
- E. Stein y R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction. Útil para Análisis de Fourier.
Información Práctica
Nos reuniremos todos los Lunes de 8:15 a 9:25 (Sala C-238) y los Miércoles de 9:40 a 10:50 (Sala P-105). Las ayudantías se realizarán los días Martes de 14:40 a 15:50 (C-235).
