MAT235 (Análisis complejo)
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)
Profesor:
- Pedro Montero
- Oficina: F-250
- Horario de clases: Lunes de 12:15 a 13:25 y Jueves de 10:55 a 12:05.
- Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00 (solicitar reunión por e-mail).
- Ayudantía: Rodrigo Pizarro, Horario por definir.
Índice
Calendario Académico
El curso MAT235 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2022-2 a considerar son las siguientes:
- Inicio del Segundo Semestre 2022: Martes 16 de Agosto.
- Desinscripciones (sin botón de pánico): Viernes 2 de Septiembre.
- Vacaciones de Fiestas Patrias: Lunes 19 de Septiembre al Sábado 24 de Septiembre. El día Lunes 26 de Septiembre se retoman las actividades académicas (colchón académico lunes y martes).
- Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 10 de Octubre.
- Semana Sansana: Miércoles 19 al Sábado 22 de Octubre a partir de las 12:05 (no afecta nuestras clases). El día Lunes 24 de Octubre se retoman las actividades académicas (colchón académico lunes y martes).
- Feriados (fuera de vacaciones): Lunes 31 de Octubre y Martes 1 de Noviembre.
- Desinscripciones (botón de pánico): Viernes 11 de Noviembre, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
- Feriado (fuera de vacaciones): Jueves 8 de Diciembre.
- Término del Segundo Semestre 2022: Viernes 16 de Diciembre.
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Importante: Deben leer antes de la primera clase las secciones $\S 0$ a $\S 3$ del apunte del curso, que recuerda contenidos de cursos anteriores y propiedades básicas de los números complejos: Ver aquí (PDF) y aquí (Video).
Horarios: Lunes de 12:15 a 13:25 y Jueves de 10:55 a 12:05. El horario de ayudantía será determinado posteriormente.
Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.
Prerrequisitos y Apunte
Gran parte del curso estará basado en el Apunte Oficial del curso (en construcción): Ver aquí (La versión antigua, escrita a mano, se encuentra aquí).
¡Atención! Este apunte sufrirá modificaciones a lo largo del semestre (correcciones, aclaraciones, ejemplos, etc), por lo que se recomienda no imprimirlo.
Se asumiran conocidos los contenidos del curso de MAT024 (Cálculo IV). En particular, las nociones de integral doble, integral de línea y Teorema de Green en el plano. Pueden encontrar material complementario en el Apunte de MAT024 del Profesor Salomón Alarcón.
Material Adicional
Versión anterior del curso: Pueden encontrar la versión antigua (2021-2) del curso AQUI.
Descripción y Evaluación
El objetivo de este curso es que las y los estudiantes aprendan los fundamentos de la teoría de funciones de variable compleja. Así mismo, serán capaces de extender los conceptos de límite, continuidad, diferenciabilidad e integración a funciones de variable compleja. Finalmente, se describirán algunas aplicaciones en física e ingeniería.
De manera más general, el Análisis Complejo (el nombre más comúnmente usado para este curso) es un área de las matemáticas que estudia funciones de variable compleja. Algunos importantes matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la teoría son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, y muchos otros desde el siglo XVIII en adelante.
Hoy en día, el Análisis Complejo es una rama muy importante dentro de las matemáticas, y existen muchas interacciones con otras áreas de la ciencia. Por ejemplo, es un área muy presente en física (hidrodinámica, termodinámica, mecánica cuántica) e ingeniería (nuclear, aero-espacial, mecánica y eléctrica).
Concretamente, en MAT235 discutiremos sobre:
- Funciones holomorfas e Integración.
- Funciones meromorfas y Residuos.
- Introducción al Análisis de Fourier (con aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales Parciales y Teoría de Probabilidades).
- Tópicos adicionales (si el tiempo lo permite): Funciones armónicas y sub-armónicas.
La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes, 2 controles y 1 tarea. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes (sujeto a modificaciones hasta el jueves 8 de septiembre de 2022, de acuerdo a Calendario Académico):
- Quiz 1 (Q1): Semana del 26 de Septiembre (en horario de ayudantía).
- Certamen 1 (C1): Sábado 8 de Octubre.
- Quiz 2 (Q2): Semana del 14 de Noviembre (en horario de ayudantía).
- Certamen 2 (C2): Sábado 26 de Noviembre.
- Tarea (T): Semana del 5 de Diciembre (el enunciado será publicado la semana del 21 de noviembre).
- Examen Global (E): Semana del 12 al 16 de Diciembre de 2022 (horario a determinar).
Instrucciones generales:
- Cálculo de Nota Final: La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.3 C1 + 0.14 Q1 + 0.3 C2 + 0.13 Q2 + 0.13 T. Estudiantes cuya nota final sea estrictamente inferior a 55 y estrictamente superior a 39, y con al menos una nota de certamen (C1 o C2) mayor o igual a 55, tendrán derecho a un Examen Global (escrito, evaluando todos los contenidos del curso), cuya ponderación será de 65%, para optar a aprobar MAT214 con nota 55. En caso de no aprobar el Examen Global, se mantendrá su nota final NF original. Más precisamente, la Nota Definitiva ND para quienes deban rendir el Examen Global se calcula de acuerdo a la fórmula:
$$\mbox{ND}=\min\{55,\max(\mbox{NF},0.35\cdot \mbox{NF}+0.65\cdot \mbox{E})\}. $$
- Rendición de Certamenes y Examen Global: Tanto los Certamenes como el Examen Global estarán pensados para ser resuelto en 3 horas. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
- Rendición de Controles: Los Controles estarán pensados para ser resueltos en 1 hora. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
- Plagio: Se podrá utilizar los apuntes del curso durante las evaluaciones, pero sólo se supodrán conocidas las nociones y resultados vistos en cátedra y ayudantía, y todo argumento utilizando resultados adicionales no justificados (e.g. ejercicios propuestos) no será considerado. Tanto los Certamenes como el Examen Global son de caracter individual, y los grupos para las Tareas sólo podrán discutir entre sus integrantes. En todas las evaluaciones donde haya sospecha de copia, plagio de respuestas de Internet, utilización de software para efectuar cálculos (a menos que se especifique lo contrario), y/o cualquier situación de fraude académico serán calificadas con nota cero y comunicadas a las instancias pertinentes. Cabe destacar que AULA cuenta con un sistema de detección de plagio.
- Ausencia a Certamen: Las justificaciones de inasistencia se realizan (con un plazo de hasta 48 horas) a través de SIGA: Ingresar a "Solicitudes académicas y peticiones", luego a "Justificación de inasistencia" y completar los datos solicitados. Además, deben enviar un correo adjuntando certificados médicos a maricel.alarcon@usm.cl. Quien no rinda dos certámenes, independientemente de la justificación, no podrá aprobar la asignatura.
Clases (referencial) en PDF
Ayudantía (referencial) en carpeta compartida por el ayudante.
Errata
En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias. Todas las correcciones serán realizadas paralelamente en el Apunte del curso y en las presentaciones de clases.
Referencias
Nuestras principales referencias serán:
- P. Montero, Análisis Complejo. Ver PDF (en construcción).
- E. Stein y R. Shakarchi, Complex Analysys. Referencia principal, complementaria al Apunte Oficial.
- E. Stein y R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction. Útil para Análisis de Fourier.
Otras buenas referencias y fuentes de ejemplos son:
- W. Rudin, Real and Complex Analysis.
- L. Ahlfors, Complex Analysis.
- H. Cartan, Théorie Elémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (en francés).
- E. Amar y E. Matheron, Analyse complexe (en francés).
- J. Bak y D. Newman, Complex Analysis.
- S. Krantz, Partial Differential Equations and Complex Analysis.
Información Práctica
Nos reuniremos todos los Lunes de 12:15 a 13:25 y Jueves de 10:55 a 12:05. El horario de ayudantía será determinado posteriormente.