MAT426 (Curvas Algebraicas)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

• Pedro Montero
• Oficina: F-247
• Horario de clases: Miércoles de 15:50 a 17:00 y Jueves de 15:50 a 17:00.
• Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00 por e-mail
• Ayudantía y Presentaciones: Viernes de 15:50 a 17:00.

Índice

• Calendario Académico.
• Anuncios.
• Prerrequisitos.
• Material Adicional.
• Descripción.
• Clases (referencial).
• Ayudantía (referencial).
• Errata.
• Referencias.
• Información Práctica.
• Humor.

Calendario Académico

El curso MAT426 cuenta con asistencia de estudiantes de pregrado (electivo) y posgrado (Doctorado en Matemática en consorcio PUCV-UTFSM-UV), que tienen calendarios académicos diferentes. Para llegar a un punto común, consideraremos las siguientes fechas:

• Inicio del Segundo Semestre 2021: Lunes 23 de Agosto.
• Vacaciones de Fiestas Patrias: Lunes 13 de Septiembre al Viernes 17 de Septiembre.
• Término del Segundo Semestre 2021: Jueves 23 de Diciembre.

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Proyectos finales: A continuación pueden encontrar los Proyectos finales del curso MAT426, de temas bastante variados y de muy buen nivel. Pueden consultarlos para introducirse a diferentes tópicos fuera del curso:

• $D$-módulos algebraicos y el functor de Knizhnik-Zamolodchikov (por Carlos Ajila).
• Singularidades de Du Val (por Carlos Asencio).
• Grupos Algebraicos (por Patricio Rubilar y Cristián Pérez).
• Introducción a la Teoría de Hodge (por Sebastián Fuentes, Mario Pastrana y Ernesto Treumún).
• Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (por Javier Silva).

Apunte de MAT426: Durante el semestre escribiré un Apunte oficial para el curso. Podran descargar la última versión AQUÍ, que se irá actualizando a lo largo del semestre.

Presentación del curso: El día Miércoles 18 de Agosto a las 15:50 horas habrá una presentación del curso (vía Zoom).

Horarios: Nos reuniremos todos los Miércoles de 15:50 a 17:00 y Jueves de 15:50 a 17:00, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Viernes de 15:50 a 17:00.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí una descripción detallada del curso, así como referencias para cada tópico que será discutido.

Se recomienda leer antes de la primera clase el Capítulo 4 del siguiente apunte que repasa contenidos sobre Anillos y Módulos (desde una perspectiva geométrica). Ver aquí.

También será útil recordar las propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí.

Prerrequisitos

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Estructuras Algebraicas. En particular, la operatoria básica de Anillos y Módulos. Además, es bueno saber un poco de topología (definición de topología, continuidad, conexidad, etc: el curso de Análisis I es suficiente) y ciertamente ayudaría tener la intución y conocimientos de geometría diferencial (e.g. el Capítulo 1 del libro "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry" por M. Spivak y el Capítulo 1 del curso de Olivier Biquard), aunque no lo asumiré.

Recordatorio: MAT426 es un curso de nivel posgrado. Se espera que las personas que inscriban el curso trabajen constantemente, lean referencias adicionales, y que asistan regularmente a cátedra y ayudantías.

Material Adicional

Glosario matemático entre inglés y francés: Varias de las referencias del curso (y que están particularmente bien escritas y bien estructuradas) están en francés... c'est la vie. Recomiendo los glosarios de francés y alemán de Kai-Wen Lan (Minnesota). De todas maneras, al menos una de las referencias principales siempre estará en inglés.

Seminario de Geometría Algebraica Valparaíso (GAV): El primer semestre del año 2019 organizamos en conjunto con Gonzalo Manzano (USACH) un grupo de lectura semanal sobre geometría algebraica, y varios de los tópicos del curso fueron tocados allí. Ver aquí.

Macaulay2: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener una ayuda computacional. Personalmente recomiendo mucho el software libre Macaulay2, cuya versión online pueden encontrar aquí. Ver también el libro de D. Eisenbud, D. R. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels "Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2", donde pueden encontrar muchos ejemplos detallados.

Formulario: Pueden consultar AQUI un Formulario Cohomológico (basado en los apuntes de Miles Reid) que resume las principales propiedades y resultados relacionados a la cohomología de haces coherentes.

Referencia: Pueden consultar las excelentes notas del curso de Geometría Algebraica de Andreas Gathmann AQUI.

Versión anterior del curso: Pueden consultar la página de la versión anterior del curso AQUI, así como las Clases en Video y PDF.

Descripción

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes se introduzcan a la geometría algebraica. El principal objeto de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, las cuales son objetos geométricos que están definidos (localmente) por sistemas de ecuaciones polinomiales. Un ejemplo notable es la ecuación $$x^3+y^3 = z^3. $$ Si suponemos que las soluciónes $(x,y,z)$ son enteras entonces se sabe que dicha ecuación no posee soluciones no-triviales (Euler, 1760). Por otra parte, si suponemos que las soluciones son complejas entonces se sabe que el objeto geométrico que describe las soluciones de la ecuación es una curva elíptica (objeto muy importante en geometría, teoría de números, criptografía, etc).

Dado que en general existen demasiadas ecuaciones polinomiales a considerar, generalmente se imponen restricciones para estudiar dichas variedades algebraicas. Ejemplos de dichas restricciones pueden ser la cantidad de variables, la cantidad de polinomios, el grado de los polinomios, etc. Finalmente, otro tipo de restricciones interesantes son aquellas que involucran la geometría de la variedad algebraica definida por dichas ecuaciones polinomiales, como por ejemplo que el objeto sea suave (o que no tenga singularidades demasiado malas), que tenga una dimensión determinada, que posea ciertas formas diferenciales, etc. En otras palabras, y más precisamente, el objetivo de este curso es introducir las nociones básicas de la geometría algebraica moderna. En particular, se estudiarán algunos de los invariantes geométricos más importantes tales como los divisores, grupos de cohomología y el haz dualizante. Adicionalmente, se estudiarán algunos ejemplos remarcables provenientes de la geometría algebraica clásica tales como las hipersuperficies en espacios proyectivos, las variedades grassmannianas y los blow-up de variedades a lo largo de sub-variedades, entre otros. Finalmente, aplicaremos los resultados y métodos estudiados para analizar el caso de curvas algebraicas (i.e., variedades algebraicas de dimensión 1).

Concretamente, discutiremos sobre:

• Lenguaje de categorías, haces y espacios anillados.
• Variedades afines y proyectivas, morfismos. Variedades algebraicas y separación.
• Componentes irreducibles, dimensión y morfismos finitos.
• Puntos lisos, Teorema de Bertini y Teorema principal de Zariski.
• Fibrados vectoriales y $\mathcal{O}_X$-módulos localmente libres.
• Divisores, grupo de Picard y sistemas lineales.
• Haces coherentes y cohomología de Čech. Introducción al álgebra homológica y functores derivados.
• Teoremas de anulación y finitud de cohomología. Dualidad de Serre-Grothendieck.
• Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas.

La evaluación de este curso se realizará mediante 1 Presentación, 1 Certamen y 1 Proyecto Final. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes:

• Presentación (P): Desarrollar ejemplos concretos y presentarlos durante la Ayudantía del curso. Los temas a considerar pueden ser consultados aquí.
• Certamen (C): Capítulo 1 y 2 del Apunte.
• Proyecto Final: (PF): Escribir en grupos de a lo más 2 personas un reporte en formato artículo donde expongan un tópico fuera del curso (propuesto por el profesor en conjunto con los estudiantes). Fecha de entrega: A más tardar el 3 de Diciembre de 2021.

Clases (referencial) en Video y PDF

• 18/08/2020: Presentación del curso.
• 25/08/2020: Categorias y functores. Transformaciones naturales y functores adjuntos. Ver $\S 1.1$ y $\S 1.2$ del Apunte.
• 26/08/2020: Prehaces y haces (Parte 1). Ver $\S 1.3$ del Apunte.
• 01/09/2020: Prehaces y haces (Parte 2). Espacios anillados y $\mathcal{O}_X$-módulos. Ver $\S 1.3$ y $\S 1.4$ del Apunte.
• 02/09/2020: Variedades algebraicas afines y topología de Zariski. Funciones regulares y morfismos (Parte 1). Ver $\S 2.1$ y $\S 2.2$ del Apunte.
• 08/09/2021: Funciones regulares y morfismos (Parte 2). Variedades algebraicas (parte 1). Ver $\S 2.2$ y $\S 2.3$ del Apunte.
• 09/09/2021: Variedades algebraicas (parte 1). Introducción a los esquemas. Ver $\S 2.3$ y $\S 2.4$ del Apunte.
• 22/09/2021: Atlas algebraicos. Producto de variedades y separación. Variedades algebraicas proyectivas (parte 1). Ver $\S 2.5$ a $\S 2.7$ del Apunte.
• 23/09/2021: Variedades algebraicas proyectivas (parte 2). Ver $\S 2.7$ del Apunte.
• 29/09/2021: Componentes irreducibles. Funciones racionales y aplicaciones racionales. Ver $\S 2.8$ a $\S 2.9$ del Apunte.
• 30/09/2021: Blow-up de una variedad afín. Dimensión y morfismos finitos (parte 1). Ver $\S 2.10$ y $\S 2.11$ del Apunte.
• 06/10/2021: Dimensión y morfismos finitos (parte 2). Dimensión de morfismos y aplicaciones. Ver $\S 2.11$ y $\S 2.12$ del Apunte.
• 07/10/2021: Espacio tangente de Zariski, variedades suaves y singulares (parte 1). Aplicación del Teorema de Nagata. Ver $\S 2.13$ del Apunte.
• 13/10/2021: Espacio tangente de Zariski, variedades suaves y singulares (parte 2). Morfismos suaves y Teorema de Bertini. Ver $\S 2.13$ y $\S 2.14$ del Apunte.
• 14/10/2021: Normalización y Teorema principal de Zariski. Ver $\S 2.15$ del Apunte.
• 20/10/2021: Fibrados vectoriales y Grupo de Picard. Secciones y haces localmente libres (parte 1). Ver $\S 3.1$ y $\S 3.2$ del Apunte.
• 21/10/2021: Secciones y haces localmente libres (parte 2). Sistemas lineales y amplitud. Ver $\S 3.2$ y $\S 3.3$ del Apunte.
• 27/10/2021: Divisores de Weil y divisores de Cartier (parte 1). Ver $\S 3.4$ del Apunte.
• 28/10/2021: Divisores de Weil y divisores de Cartier (parte 2). Ver $\S 3.4$ del Apunte.
• 03/11/2021: Sub-fibrados y fibrados cocientes. Fibrado tangente, cotangente y normal. Ver $\S 3.5$ y $\S 3.6$ del Apunte.
• 04/11/2021: Divisor canónico y dimensión de Kodaira. Fibrados proyectivos (parte 1). Ver $\S 3.7$ y $\S 3.8$ del Apunte.
• 10/11/2021: Fibrados proyectivos (parte 2). Cohomología de Čech y Haces coherentes (parte 1). Ver $\S 3.8$ y $\S 4.1$ del Apunte.
• 11/11/2021: Cohomología de Čech y Haces coherentes (parte 2). Cohomología de haces coherentes en una variedad proyectiva (parte 1). Ver $\S 4.1$ y $\S 4.2$ del Apunte.
• 17/11/2021: Cohomología de haces coherentes en una variedad proyectiva (parte 2). Categorías abelianas y functores exactos (parte 1). Ver $\S 4.2$ y $\S 4.3$ del Apunte.
• 18/11/2021: Categorías abelianas y functores exactos (parte 2). Resoluciones inyectivas y quasi-isomorfismos (parte 1). Ver $\S 4.3$ y $\S 4.4$ del Apunte.
• 24/11/2021: Resoluciones inyectivas y quasi-isomorfismos (parte 2). Functores derivados. Resoluciones acíclicas y resoluciones flasques (parte 1). Ver $\S 4.4$ a $\S 4.6$ del Apunte.
• 25/11/2021: Resoluciones acíclicas y resoluciones flasques (parte 2). Cohomología de variedades afines y Teorema de Leray (parte 1). Ver $\S 4.6$ y $\S 4.7$ del Apunte.
• 01/12/2021: Cohomología de variedades afines y Teorema de Leray (parte 2). Imágenes directas superiores. Ver $\S 4.7$ y $\S 4.8$ del Apunte.
• 02/12/2021: Dualidad de Grothendieck y Dualidad de Serre. Ver $\S 5.1$ del Apunte.
• 09/12/2021: Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas (parte 1). Ver $\S 5.2$ del Apunte.
• 13/12/2021: Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas (parte 2). Aplicaciones del Teorema de Riemann-Roch (parte 1). Ver $\S 5.2$ y $\S 5.3$ del Apunte.
• 16/12/2021: Aplicaciones del Teorema de Riemann-Roch (parte 2). Ver $\S 5.3$ del Apunte.

Ayudantía (referencial): discusión informal

• 27/08/2021: Ayudantía 1: Límites y colímites en una categoría (Pedro Montero).
• 08/10/2021: Ayudantía 2 (Ernesto Treumún): Teoría espectral y álgebras de Banach.
• 15/10/2021: Ayudantía 3 (Sebastián Fuentes): Variedades completas y anillos de valuación.
• 22/10/2021: Ayudantía 4 (Cristián Pérez): Grupos algebraicos y variedades abelianas.
• 29/10/2021: Ayudantía 5 (Mario Pastrana): Teorema de la sección hiperplana de Lefschetz.
• 05/11/2021: Ayudantía 6 (Patricio Cadis): Teorema de Bézout.
• 26/11/2021: Ayudantía 7 (Javier Silva): Curvas elípticas.
• 03/12/2021: Ayudantía 8 (Carlos Asencio): Singularidades ADE.
• 10/11/2021: Ayudantía 9 (Carlos Ajila): Variedades quiver (carcaj).

Errata

Referencias

Nuestras principales referencias serán:
• O. Debarre, Introduction à la géométrie algébrique. Ver PDF.
• W. Fulton, Algebraic Curves. Ver PDF.
• A. Gathmann, Algebraic Geometry. Ver AQUI.
• J. Le Potier, Géométrie Algébrique. Ver PDF.
• R. Valik, The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry. Ver PDF.

Otras buenas referencias y fuentes de ejemplos son:
• J. Harris, Algebraic Geometry, A First Course.
• R. Hartshorne, Algebraic Geometry.
• D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes.
• I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1 & 2.
• A. Gathmann, Commutative Algebra. Ver AQUI. Útil para Teoría de Anillos y Módulos.

Información Práctica

Nos reuniremos todos los Miércoles de 15:50 a 17:00 y Jueves de 15:50 a 17:00, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Viernes de 15:50 a 17:00. Todas las sesiones serán por Zoom (el link será enviado por correo).

Humor