MAT426 (Curvas Algebraicas)
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)
Profesor:
- Pedro Montero
- Oficina: F-247
- Horario de clases: Lunes de 9:45 a 11:15 y Miércoles de 11:30 a 13:00.
- Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00 por e-mail
- Ayudantía: Pedro Montero, Martes de 8:40 a 9:40.
Índice
Calendario Académico
El curso MAT426 se rige bajo el calendario académico del Doctorado en Matemática en consorcio PUCV-UTFSM-UV. En particular, las fechas importantes del Semestre 2020-2 a considerar son las siguientes:
- Inicio del Segundo Semestre 2020: Lunes 17 de Agosto.
- Vacaciones de Fiestas Patrias: Lunes 14 de Septiembre al Jueves 17 de Septiembre. El día Lunes 21 de Septiembre se retoman las actividades académicas.
- Término del Segundo Semestre 2020: Viernes 11 de Diciembre.
Anuncios
Proyectos finales: A continuación pueden encontrar los Proyectos finales del curso MAT426, de temas bastante variados y de muy buen nivel. Pueden consultarlos para introducirse a diferentes tópicos fuera del curso:
Formulario: Pueden consultar AQUI un Formulario Cohomológico (basado en los apuntes de Miles Reid) que resume las principales propiedades y resultados relacionados a la cohomología de haces coherentes.
Nueva referencia: Pueden consultar las excelentes notas del curso de Geometría Algebraica de Andreas Gathmann AQUI.
Horarios: Nos reuniremos todos los Lunes de 9:45 a 11:15 y Miércoles de 11:30 a 13:00, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Martes de 8:40 a 9:40.
Presentación del curso: El día Martes 11 de Agosto a las 14:30 horas habrá una presentación del curso (vía Zoom) y se fijarán los horarios de clases y ayudantía.
Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí una descripción detallada del curso, así como referencias para cada tópico que será discutido.
Se recomienda leer antes de la primera clase el Capítulo 4 del siguiente apunte que repasa contenidos sobre Anillos y Módulos (desde una perspectiva geométrica). Ver aquí.
También será útil recordar las propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí.
Prerrequisitos
Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Estructuras Algebraicas. En particular, la operatoria básica de Anillos y Módulos. Además, es bueno saber un poco de topología (definición de topología, continuidad, conexidad, etc: el curso de Análisis I es suficiente) y ciertamente ayudaría tener la intución y conocimientos de geometría diferencial (e.g. el Capítulo 1 del libro "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry" por M. Spivak y el Capítulo 1 del curso de Olivier Biquard), aunque no lo asumiré.
Material Adicional
Glosario matemático entre inglés y francés: Varias de las referencias del curso (y que están particularmente bien escritas y bien estructuradas) están en francés... c'est la vie. Recomiendo los glosarios de francés y alemán de Kai-Wen Lan (Minnesota). De todas maneras, al menos una de las referencias principales siempre estará en inglés.
Seminario de Geometría Algebraica Valparaíso (GAV): El primer semestre del año 2019 organizamos en conjunto con Gonzalo Manzano (USACH) un grupo de lectura semanal sobre geometría algebraica, y varios de los tópicos del curso fueron tocados allí. Ver aquí.
Macaulay2: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener una ayuda computacional. Personalmente recomiendo mucho el software libre Macaulay2, cuya versión online pueden encontrar aquí. Ver también el libro de D. Eisenbud, D. R. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels "Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2", donde pueden encontrar muchos ejemplos detallados.
El objetivo de este curso es que las y los estudiantes se introduzcan a la geometría algebraica. El principal objeto de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, las cuales son objetos geométricos que están definidos (localmente) por sistemas de ecuaciones polinomiales. Un ejemplo notable es la ecuación
$$x^3+y^3 = z^3. $$
Si suponemos que las soluciónes $(x,y,z)$ son enteras entonces se sabe que dicha ecuación no posee soluciones no-triviales (Euler, 1760). Por otra parte, si suponemos que las soluciones son complejas entonces se sabe que el objeto geométrico que describe las soluciones de la ecuación es una curva elíptica (objeto muy importante en geometría, teoría de números, criptografía, etc).
Dado que en general existen demasiadas ecuaciones polinomiales a considerar, generalmente se imponen restricciones para estudiar dichas variedades algebraicas. Ejemplos de dichas restricciones pueden ser la cantidad de variables, la cantidad de polinomios, el grado de los polinomios, etc. Finalmente, otro tipo de restricciones interesantes son aquellas que involucran la geometría de la variedad algebraica definida por dichas ecuaciones polinomiales, como por ejemplo que el objeto sea suave (o que no tenga singularidades demasiado malas), que tenga una dimensión determinada, que posea ciertas formas diferenciales, etc. En otras palabras, y más precisamente, el objetivo de este curso es introducir las nociones básicas de la geometría algebraica moderna. En particular, se estudiarán algunos de los invariantes geométricos más importantes tales como los divisores, grupos de cohomología y el haz dualizante. Adicionalmente, se estudiarán algunos ejemplos remarcables provenientes de la geometría algebraica clásica tales como las hipersuperficies en espacios proyectivos, las variedades grassmannianas y los blow-up de variedades a lo largo de sub-variedades, entre otros. Finalmente, aplicaremos los resultados y métodos estudiados para analizar el caso de curvas algebraicas (i.e., variedades algebraicas de dimensión 1).
Concretamente, discutiremos sobre:
- Lenguaje de categorías, haces y espacios anillados.
- Variedades afines y proyectivas, morfismos. Variedades algebraicas y separación.
- Componentes irreducibles, dimensión y morfismos finitos.
- Puntos lisos, Teorema de Bertini y Teorema principal de Zariski.
- Fibrados vectoriales y $\mathcal{O}_X$-módulos localmente libres.
- Divisores, grupo de Picard y sistemas lineales.
- Haces coherentes y cohomología de Čech. Introducción al álgebra homológica y functores derivados.
- Teoremas de anulación y finitud de cohomología. Dualidad de Serre-Grothendieck.
- Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas.
La evaluación de este curso se realizará mediante 1 Presentación, 1 Certamen y 1 Proyecto Final. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes:
- Presentación (P): Desarrollar ejemplos concretos y presentarlos durante la Ayudantía del curso. Los temas a considerar pueden ser consultados aquí.
- Certamen (C): Miércoles 28 de Octubre de 2020. Contenidos: $\S 1$ a $\S 19$.
- Proyecto Final: (PF): Escribir en grupos de a lo más 2 personas un reporte en formato artículo donde expongan un tópico fuera del curso (propuesto por el profesor en conjunto con los estudiantes). Fecha de entrega: A más tardar el 20 de noviembre de 2020.
La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.2 P + 0.3 C + 0.5 PF.
Clases (referencial) en Video y PDF
Ayudantía (referencial): discusión informal
Errata
En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias.
- $\S 1$, pág 3, definición de functor covariante, ítem 2: "$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(A),F(B))$" debería ser "$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(A),F(B)),\; f\mapsto F(f)$".
- $\S 2$, pág 5, definición de adjunción, "biyección natural": Los morfismos "$f:A_1\to A_2$ y $g:B_1\to B_2$" deberían ser "$f:A_2\to A_1$ y $g:B_1\to B_2$" (hay que corregir el orden de $f$).
- $\S 3$, pág 8, definición de prehaz rascacielo: "$(i_{x_0}(S))(U)=\emptyset$ si $x_0\notin U$" debería ser "$(i_{x_0}(S))(U)=\{\ast\}$ si $x_0\notin U$", aquí $\{\ast\}$ denota un singleton ("objeto terminal" en la categoría de conjuntos).
- $\S 3$, pág 11, definición de $\mathcal{F}^+(U)$: El coproducto "$\coprod_{x\in U} \mathcal{F}_x$" debería ser el producto (usual) "$\prod_{x\in U} \mathcal{F}_x$". Aunque parezca sutil esto es importante, porque el producto de grupos abelianos es un grupo abeliano, pero el coproducto de grupos abelianos es lo que se llama el producto libre y no tiene porqué ser abeliano (no queremos eso). Esto ahora está corregido en el PDF.
- $\S 3$, pág 12, demostración del teorema, penúltima línea: En rigor, "$\varphi^+(\sigma)|_{U_i}=\varphi(\sigma_i)$" debería ser "$\varphi_U^+(\sigma)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(\sigma_i)$".
- $\S 7$, pág 24, demostración de la proposición, línea 11: $\{yt=1\}\subseteq \mathbb{A}^2$ es isomorfo a $\{y\neq 0\}\subseteq \mathbb{A}^1$ mediante $(y,t)\mapsto y$, y cuya inversa es la función regular $y\mapsto (y,\frac{1}{y})$.
- $\S 7$, pág 25, ejemplo muy importante, línea (-6): "$u(x)=P(x)/Q(x)$ con $P,Q\in \mathcal{O}(\mathbb{A}^n)$" debería ser "$u(x)=P(x)/Q(x)$ con $P,Q\in \mathcal{O}(\mathbb{A}^{n+1})$".
- $\S 10$, pág 32, demostración del lema, línea 4: "$P(x,y)=\sum_{i,j}P_i(x)Q_j(x)$" debería ser "$P(x,y)=\sum_{i,j}P_i(x)Q_j(y)$".
- $\S 10$, pág 32, demostración del teorema, línea 4: "$Z_{ij}\cap Z_{kl}=(U_i\cap U_k)\times (V_j\times V_k)$" debería ser "$Z_{ij}\cap Z_{kl}=(U_i\cap U_k)\times (V_j \cap V_k)$".
- $\S 11$, pág 40, demostración del teorema, línea 3: "$\mbox{Hom}_k(V,I)\cong M_{k\times n}(k)\cong \mathbb{A}^{kn}$" debería ser "$\mbox{Hom}_k(V,I)\cong M_{(n-k)\times n}(k)\cong \mathbb{A}^{n(n-k)}$".
- $\S 13$, pág 44, Terminología: En la definición de aplicación birracional, la condición para definir la composición debería ser $\overline{\mbox{Im}(\varphi)}\cap \mbox{Dom}(\psi)\neq \emptyset$ y $\overline{\mbox{Im}(\psi)}\cap \mbox{Dom}(\varphi)\neq \emptyset$. Más precisamente, las igualdades $\psi\circ \varphi = \mbox{Id}$ y $\varphi \circ \psi = \mbox{Id}$ deben ser entendidas como igualdades entre clases de equivalencias de aplicaciones racionales.
- $\S 15$, pág 51, Lema de Cohen-Seidenberg, ítem 2: "Si $X',X''\subseteq X$ son cerrados irreducibles tal que $f(X')=f(X'')$" debería ser "Si $X',X''\subseteq X$ son cerrados irreducibles distintos tales que $f(X')=f(X'')$".
- $\S 16$, pág 55, Ejemplo 1: "$f:X\to C$ morfismo no-constante donde $C$ es una curva algebraica" debería ser "$f:X\to C$ morfismo no-constante donde $C$ es una curva algebraica irreducible". Esto último se cumple automáticamente si $f$ es sobreyectivo (pues $X$ irreducible), lo cual a posteriori debe ser cierto si $C$ es irreducible y $f$ no-constante.
- $\S 17$, pág 57, Recuerdo: En el enunciado del Teorema del elemento primitivo, la extensión $K\subseteq L$ debe ser finita (y luego, algebraica) y separable. El ejemplo típico de una extensión algebraica no finita es $\mathbb{Q}\subseteq \overline{\mathbb{Q}}$. En el caso geométrico que nos interesa, la extensión es finita.
- $\S 17$, pág 61, definición de factorización débil: "donde cada $Z_i\to X_i$ y $Z_i\to X_{i-1}$ es un blow-up a lo largo de una sub-variedad suave" debería ser "donde cada $W_i\to X_i$ y $W_i\to X_{i-1}$ es un blow-up a lo largo de una sub-variedad suave".
- $\S 19$, pág 66, demostración de la proposición, línea 3: "Considerando $f\in \mathfrak{p}$" debería ser "Considerando $g\in \mathfrak{p}$".
- $\S 19$, pág 66, demostración del teorema, diagrama conmutativo: "$\mathfrak{m}_{X,y} \twoheadrightarrow \mathfrak{m}_{Y,y}=\mathfrak{m}_{Y,y}/\langle f \rangle$" debería ser "$\mathfrak{m}_{X,y} \twoheadrightarrow \mathfrak{m}_{Y,y}=\mathfrak{m}_{X,y}/\langle f \rangle$".
- $\S 19$, pág 67, línea 1: La inclusión "$\mathcal{O}(X)\subseteq \mathcal{O}(Y)\subseteq k(X)$" debería ser "$\mathcal{O}(X)\subseteq \mathcal{O}(Y)\subseteq k(Y)\cong k(X)$", donde el último isomorfismo se obtiene pues $g:Y\to X$ es birracional.
- $\S 20$, pág 69, Ejercicio 3: "$1\leq r < \dim_k(V)-1$" debería ser "$1\leq r \leq \dim_k(V)-1$". Notamos que si $r=\dim_k(V)-1$ entonces $\mbox{Gr}(r,V)\cong \mathbb{P}(V^\ast)$ es el espacio proyectivo dual.
- $\S 28$, pág 98, demostración del Teorema de anulación de Grothendieck, penúltima línea: "$U_i=\{x_i\neq 0\}\cong \mathbb{A}^n$" debería ser "$U_i=\{x_i\neq 0\}\cong \mathbb{A}^N$".
- $\S 31$, pág 105, demostración del lema, línea 1: "$f:A\to B$" debería ser "$f:A\to G$".
- $\S 33$, pág 113, Observación importante, última línea: "Todo haz de grupos abelianos en un espacio topológico $X$ es flasque" debería ser "Todo haz de grupos abelianos inyectivo en un espacio topológico $X$ es flasque"
- $\S 34$, pág 116, Ejercicio: La fórmula de Künneth debería ser $\operatorname{H}^i(X\times Y,\mathcal{F}\boxtimes \mathcal{G})\cong \bigoplus_{p+q=i}\operatorname{H}^p(X,\mathcal{F})\otimes_k \operatorname{H}^q(Y,\mathcal{G})$, i.e., debería ser "$\operatorname{H}^q(Y,\mathcal{G})$" en lugar de "$\operatorname{H}^q(X,\mathcal{G})$".
- $\S 37$, pág 124, dualidad de Serre para fibrados en rectas: El isomorfismo "$\operatorname{H}^i(X,\mathcal{O}_X(D))\cong \operatorname{H}^{n-i}(X,\mathcal{O}_X(K_X-D))$" debería ser "$\operatorname{H}^i(X,\mathcal{O}_X(D))\cong \operatorname{H}^{n-i}(X,\mathcal{O}_X(K_X-D))^\vee$". La página scaneada cortó el símbolo de espacio dual al final.
- $\S 37$, pág 127, demostración del lema, línea 2: "$\mathcal{O}_C(m):=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)|_C$" debería ser "$\mathcal{O}_C(m):=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)|_C$".
Nuestras principales referencias serán:
- O. Debarre, Introduction à la géométrie algébrique. Ver PDF.
- W. Fulton, Algebraic Curves. Ver PDF.
- A. Gathmann, Algebraic Geometry. Ver AQUI.
- J. Le Potier, Géométrie Algébrique. Ver PDF.
- R. Valik, The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry. Ver PDF.
Otras buenas referencias y fuentes de ejemplos son:
- J. Harris, Algebraic Geometry, A First Course.
- R. Hartshorne, Algebraic Geometry.
- D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes.
- I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1 & 2.
Información Práctica
Nos reuniremos todos los Lunes de 9:45 a 11:15 y Miércoles de 11:30 a 13:00, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Martes de 8:40 a 9:40. Todas las sesiones serán por Zoom (el link será enviado por correo).
Humor
