MAT214 (Estructuras Algebraicas)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

Pedro Montero
Oficina: F-247
Horario de consultas: Lunes a viernes de 8:00 a 17:00 previa coordinación por e-mail
Ayudantía: Iván Rosas, todos los lunes de 8:00 a 9:30 en la Sala C-202

Anuncios

Fechas de certamenes publicadas (ver abajo). Cambiaremos de sala los días lunes a la F-265 y los miércoles a la Sala de Seminarios del DMAT.

Descripción

El estudiante aprenderá herramientas y técnicas relacionadas a la teoría de grupos, de anillos y de cuerpos, las cuales son necesarias para la formación general de un estudiante en matemáticas. Así mismo, será capaz de identificar conexiones con problemas físicos y matemáticos. Para ello estudiará en detalle la noción de grupo, sus diferentes propiedades y teoremas de clasificación. Finalmente, indagará en las nociones de anillos y cuerpos, los cuales poseen propiedades adicionales a las de los grupos gracias a su estructura multiplicativa. Concretamente, discutiremos sobre:

Notación y prerrequisitos
Grupos y representaciones
Anillos y cuerpos

La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes y 2 tareas. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes:

Entrega Tarea 1 (T1): 29 de abril de 2019.
Certamen 1: Sábado 27 de abril de 2019, de 9h45 a 13h00. Sala M-101. (Ver también el C1 recuperativo)
Entrega Tarea 2 (T2): Miércoles 4 de septiembre de 2019.
Certamen 2: Lunes 9 de septiembre, de 9h45 a 13h00. Sala de Seminarios del DMAT.
Examen oral: Viernes 13 de septiembre.

La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.3 C1 + 0.2 T1 + 0.3 C2 + 0.2 T2. Estudiantes cuya nota final sea estrictamente inferior a 55 tendrán derecho a un examen global (oral) para optar a aprobar MAT214 con nota 55. Dicho examen oral consistirá en exponer la solución completa de un problema de la Tarea 1 o Tarea 2 (preparado previamente) y responder preguntas relacionadas a este y/o otro problema (seleccionado por el profesor) de la Tarea 1 o Tarea 2. En caso de no aprobar el examen global, el estudiante mantendrá su nota final NF original.

Clases (referencial)

02/09/2019: Módulos inyectivos y proyectivos. Lema de la serpiente. Producto tensorial de módulos.
28/08/2019: Sucesiones exactas y complejos. Formas diferenciales, complejo y cohomología de De Rham.
26/08/2019: Teorema de Cayley-Hamilton. Radical de Jacobson y anillos locales. Lema de Nakayama.
21/08/2019: Producto y suma directa de módulos. Módulos finitamente generados y módulos libres.
19/08/2019: Módulos sobre un anillo. Morfismos de módulos. Submódulos y cocientes. Operaciones sobre submódulos.
14/08/2019: Geometría de ideales primos. Operaciones sobre ideales. Espectro de un anillo. Morfismos entre cocientes y teorema chino del resto.
12/08/2019: Variedades algebraicas afines y topología de Zariski. Álgebra de funciones regulares. Espectro maximal.
07/08/2019: Recuerdo sobre anillos y motivación geométrica (ver también aquí). Ideal asociado a un conjunto.
03/05/2019: Anillos noetherianos. Teorema de la base de Hilbert. Hilbert Nullstellensatz.
29/04/2019: Ideales primos. Ideales maximales. Ideales radicales, nilradical y anillos reducidos.
24/04/2019: Álgebras. Anillo de polinomios. Cuerpo de fracciones. Ideales y anillo cociente.
22/04/2019: Caracterización de grupos abelianos. Tablas de caracteres. Anillos y cuerpos. Morfismos de anillos.
17/04/2019: Ortogonalidad de caracteres. Teorema de Frobenius. Cantidad de representaciones irreducibles, relación entre sus grados y orden del grupo.
15/04/2019: Producto simétrico y alternado. Caracteres y funciones centrales. Lema de Schur.
10/04/2019: Representaciones irreducibles. Complemento G-invariante. Producto tensorial.
08/04/2019: Series de composición. Teorema de Jordan-Hölder. Definición de representación y propiedades. Sub-representaciones y morfismos.
03/04/2019: Factores invariantes y Teorema de la base adaptada. Teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados. Simplicidad del grupo alternante.
01/04/2019: Grupos de Sylow de un grupo abeliano finito. Teorema chino del resto. Grupos abelianos finitamente generados y grupos abelianos libres.
27/03/2019: Fórmula de clases y p-grupos. Teoremas de Sylow.
25/03/2019: Acciones de grupos. Órbitas. Conjugación.
18/03/2019: Sub-grupos normales. Cociente y su propiedad universal.
07/03/2019: Sub-grupos y generadores. Morfismos de grupos. Clases laterales. Teorema de Lagrange.
06/03/2019: Signatura de una permutación. Definición de grupo, anillos y cuerpos. Ejemplos de grupos.
04/03/2019: Introducción al curso. Relaciones de equivalencia y permutaciones.

Ayudantías

Referencias

T. W. Hungerford, Algebra.

J. B. Fraleigh, Álgebra abstracta.
O. Debarre, Algèbre 1 y Algèbre 2.

Información Práctica

Nos reuniremos todos los lunes de 11:30 a 13:00 en la Sala F-265 y todos los miércoles de 11:30 a 13:00 en la Sala de Seminarios de DMAT (y ocasionalmente la Sala P-104).

Humor