MAT214 (Estructuras algebraicas)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

Índice

Calendario Académico

El curso MAT214 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2024-1 a considerar son las siguientes:

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NuevoTexto de divulgación: ¿Cuál es el papel del Álgebra en la Matemática Aplicada?, por David A. Cox.

Importante: Deben leer antes de la primera clase el Capítulo 1 (Prerrequisitos) del apunte del curso, que recuerda contenidos de cursos anteriores: Ver aquí (PDF) y aquí (Video). Alternativamente, ver los videos de MAT060 (correspondiente a contenidos del primer semestre de primer año) relacionados con grupos, anillos y cuerpos, relaciones de equivalencia y cocientes, y la construcción del cuerpo $\mathbb{F}_p=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\cdot)$, y ver el video de MAT210 (correspondiente a contenidos del primer semestre de segundo año) sobre Permutaciones.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.

Prerrequisitos y Apunte

Gran parte del curso estará basado en el Apunte Oficial del curso: Ver aquí. ¡Atención! Es posible que este apunte sufra modificaciones a lo largo del semestre.

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Álgebra Lineal. En particular, la operatoria básica de aplicaciones lineales (y sus matrices asociadas) y espacios vectoriales, así como diagonalización de endomorfismos. Además, será importante para la parte de Teoría de Representaciones el recordar propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí. Dado que los contenidos referentes a tensores no son cubiertos todos los años, no lo asumiremos y serán recordados llegado el momento.

Material Adicional

GAP y Macaulay2: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener una ayuda computacional. Personalmente uso y recomiendo mucho el software libre GAP (Groups, Algorithms, Programming) para cálculos relacionados a grupos finitos y sus representaciones, y Macaulay2 para cálculos relacionados a anillos y módulos. La versión online de Macaulay2 puede encontrarse aquí. Ver también el libro de D. Eisenbud, D. R. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels "Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2" donde pueden encontrar muchos ejemplos detallados para Macaulay 2, así como los Tutoriales en inglés y español para GAP.

Tensores en matemática y física: Una excelente referencia para complementar el estudio de tensores y formas diferenciales es el libro de Paul Renteln "Manifolds, Tensors and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists".

Escritura en $\LaTeX$: El desarrollo de las Tareas debe ser escrito en computador y preferentemente en LaTeX (mucho mejor que Word, y además es software libre). Para usarlo pueden hacer lo siguiente:

Típicamente uno aprende $\LaTeX$ por ensayo y error, por lo que es recomendable prácticar bastante para que la escritura tome menos tiempo. De todas maneras, aquí hay más material complementario:
  1. Algunos de los símbolos más comunes (Texmaker también tiene una barra de herramientas que los incluye): Ver aquí.
  2. Detexify les permite identificar símbolos sólo dibujándolos: Ver aquí.
  3. Mathpix Snip permite extraer fórmulas de un pdf o de una imagen: Ver aquí.
  4. MathCha permite dibujar y exportar el resultado a LaTeX o imagen: Ver aquí.
  5. Guía rápida de LaTeX: Ver aquí.
  6. Foro de LaTeX (en inglés): Ver aquí.

Descripción y Evaluación

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes aprendan herramientas y técnicas relacionadas a la teoría de grupos, de anillos y de cuerpos, las cuales son necesarias para la formación general de estudiantes en matemáticas. Así mismo, serán capaces de identificar conexiones con problemas físicos y matemáticos. Para ello estudiarán en detalle la noción de grupo, sus diferentes propiedades y teoremas de clasificación. Finalmente, indagarán en las nociones de anillos y cuerpos, los cuales poseen propiedades adicionales a las de los grupos gracias a su estructura multiplicativa.

De manera más general, el Álgebra Abstracta (otro nombre comúnmente usado para este curso) es un área de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas tales como grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y módulos. La importancia y alcance del álgebra abstracta se aprecia incluso en su propio nombre: nos brinda un contexto general en el cual podremos estudiar diversos objetos matemáticos de manera conjunta y abstracta, sin considerar necesariamente casos particulares. Por ejemplo, la multiplicación de números reales no-nulos, las simetrías de una molécula qúimica, las raíces de un polinomio, los movimientos de un cubo Rubik, y las curvas cerradas en una superficie que aparecen típicamente en cálculo vectorial: ¡todas ellas pueden ser dotadas de una estructura de grupo!

Explorando la teoría de grupos de manera abstracta, podemos obtener propiedades y estructuras que se aplican a todos los ejemplos mencionados anteriormente o que podamos descubrir en el futuro. Con esto en mente, no debería ser una sorpresa que el álgebra abstracta constituye un lenguaje extremadamente útil que puede ser usado prácticamente en todas las áreas de la matemática (e incluso en varias ramas de la física, química, criptografía, etc). Un texto recomendado en esa dirección es el artículo ¿Cuál es el papel del Álgebra en la Matemática Aplicada?, por David A. Cox.

Las aplicaciones del álgebra abstracta tanto dentro como fuera de las matemáticas no son la única razón importante para estudiarla. Primero, aprender el formalismo detrás del álgebra abstracta es una de las mejores maneras de ganar práctica en trabajar conceptos complejos y en desarrollar sus habilidades de razonamiento abstracto. Segundo, el estudiar álgebra abstracta les permitirá acercarse a una parte importante del quehacer cotidiano al hacer investigación matemática: muchas veces para obtener resultados novedosos no es necesario realizar muchos cálculos sino más bien identificar diversos resultados fundamentales y sus consecuencias en los casos particulares que nos interesan. Finalmente, y probablemente lo más importante, es que podrán experimentar la belleza intrínseca de la matemática: si bien la estética detrás del álgebra abstracta es usualmente difícil de describir, es algo prácticamente obvio e innegable para cualquiera de sus practicantes.

Concretamente, discutiremos sobre:

La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes y 3 tareas. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes (sujeto a modificaciones hasta el 27 de Marzo de 2024, de acuerdo a Calendario Académico):

Instrucciones generales:

Clases (referencial) en PDF

Ayudantía (referencial)

Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias. Todas las correcciones serán realizadas paralelamente en el Apunte del curso y en las presentaciones de clases.

Referencias

Información Práctica

Nos reuniremos todos los Lunes de 12:15 a 13:25 (Sala de Seminarios del DMAT) y Miércoles de 12:15 a 13:25 (Sala de Seminarios del DMAT). El horario de ayudantía será el Martes de 14:30 a 15:40 (Sala C-237).

Humor

Lagrange

Algebra Abstracta

Grupos abelianos libres
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