MAT430 (Variedades Diferenciables)
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)
Profesor:
- Pedro Montero
- Oficina: F-250
- Horario de clases: Jueves de 16:05 a 18:40, con una pausa de 17:15 a 17:30 (Sala F-265).
- Horario de consultas: Viernes bloque 5-6.
- Ayudantía: Mateo Hidalgo, Lunes de 16:05 a 17:15 (Sala F-249).
Índice
Calendario Académico
El curso MAT210 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2025-1 a considerar son las siguientes:
- Inicio del Semestre 2025-1: 10 de Marzo.
- Desinscripciones (sin botón de pánico): 28 de Marzo.
- Semana Mechona: Jueves 3 de Abril y Viernes 4 de Abril, desde las 12:30 horas en adelante.
- Feriado (fuera de vacaciones): Viernes 18 de Abril.
- Feriado (fuera de vacaciones): Jueves 1 de Mayo y Viernes 2 de Mayo.
- Semana de Vacaciones: 19 al 23 de Mayo
- Desinscripciones (botón de pánico): Jueves 19 de Junio, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
- Feriado (fuera de vacaciones): Viernes 20 de Junio.
- Término del Semestre 2025-1: Viernes 11 de Julio.
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Apunte de MAT430: Pueden consultar la versión a mano del apunte del curso AQUÍ, que se irá actualizando a lo largo del semestre.
Prerrequisitos
La audiencia debe tener buena base en Álgebra Lineal, Cálculo Vectorial y Análisis, lo cual será asumido a lo largo de todo el curso, y se sugiere tener nociones de Álgebra Abstracta (particularmente Teoría de Grupos).
Material Adicional
Seminario de Geometría Riemanniana (2022): Muchas de las clases serán una versión más detallada de las charlas que se dieron durante el año 2022 en el Seminario de Geometría Riemanniana Valparaíso.
Descripción y Evaluación
El objetivo de esta asignatura es introducir a sus participantes a la Geometría Riemanniana. En particular, se estudiarán los conceptos de campos vectoriales y formas diferenciales en variedades, así como las nociones de métricas riemannianas, conexiones y geodésicas. Finalmente, nos dedicaremos a estudiar diferentes nociones de curvatura y su infuencia en la topología de las variedades subyacentes. Concretamente, discutiremos sobre:
- Variedades Diferenciables.
- Variedades Riemannianas.
- Curvatura.
- Introducción al Análisis Geométrico (si el tiempo lo permite).
La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes y 4 tareas. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes:
- Tarea 1 (T1): 16 de abril de 2025.
- Tarea 2 (T2): 7 de mayo de 2025.
- Certamen 1 (C1): Jueves 15 de Mayo de 2025.
- Tarea 3 (T3): Fecha por determinar.
- Certamen 2 (C2): Jueves 19 de Junio de 2025.
- Tarea 4 (T4): Fecha por determinar.
La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.6 NC + 0.4 NT, donde NC es el promedio de las notas de certámenes y NT el promedio de las notas de las tareas.
Clases (referencial)
- 12/03/2025 (1h10): Subvariedades de $\mathbb{R}^N$. Vectores tangentes.
- 13/03/2025 (1h10): Submersiones, Inmersiones e Incrustamientos. Variedades diferenciables (parte 1).
- 20/03/2025: Variedades diferenciables (parte 2). Vectores tangesntes y Fibrado tangente.
- 27/03/2025: Fibrados vectoriales. Derivada de Lie y Corchete de Lie.
- 10/04/2025: Flujo de campos vectoriales y EDO en variedades. Teorema de Frobenius. Formas diferenciales y Diferencial exterior (parte 1).
- 17/04/2025: Formas diferenciales y Diferencial exterior (parte 2). Orientación y Teorema de Stokes (parte 1).
Ayudantía (referencial)
Errata (pendiente)
En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias.
Referencias
Nuestras principales referencias serán:
- S. Gallot, D. Hullin & J. Lafontaine, Riemannian Geometry.
- O. Biquard, Differential and Riemanniana Geometry.
Otras buenas referencias y fuentes de ejemplos son:
- M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics.
- J.M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature.
Información Práctica
Nos reuniremos todos los Jueves de 16:05 a 18:40 (Sala F-265), con una pausa de 17:15 a 17:30, y habrá sesiones semanales de ayudantía los Lunes de 16:05 a 17:15 (Sala F-249).
