MAT290 (Geometría Diferencial)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:


Índice


Calendario Académico

El curso MAT290 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2022-2 a considerar son las siguientes:


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NuevoApunte de MAT290: Durante el semestre escribiré un Apunte oficial (a mano) para el curso. Podran descargar la última versión AQUÍ, que se irá actualizando a lo largo del semestre.

Horarios: Nos reuniremos todos los Lunes de 9:35 a 10:45 y Jueves de 14:30 a 15:40, y tendremos varias sesiones de ayudantía los Jueves bloque 13-14.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí una descripción detallada del curso, así como referencias para cada tópico que será discutido.

Se recomienda leer antes de la primera clase la Sección 8.4.1 del Apunte de Análisis I del Profesor Pedro Gajardo, sobre Teorema de la Función Inversa e Implícita. Ver aquí.

También será útil recordar las propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí.


Prerrequisitos

La audiencia debe tener buena base en cálculo en varias variables (MAT023 y MAT024), así como álgebra lineal avanzada (MAT210). Es bueno saber un poco de topología (definición de topología, continuidad, conexidad, etc: el curso de Análisis I es suficiente) y ciertamente ayudará tener la intución y conocimientos de teoría de grupos (MAT214) en ciertas partes del curso, aunque no lo asumiré.


Material Adicional

Seminario de Geometría Riemanniana Valparaíso (GRV): El primer semestre del año 2022 organizamos en conjunto con Tobías Martínez y Sergio Troncoso un grupo de lectura semanal sobre geometría riemanniana, y varios de los tópicos del curso fueron tocados allí. Ver aquí.


Descripción

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes se introduzcan a la geometría diferencial. El principal objeto de estudio de la geometría diferencial son las variedades diferenciables, las cuales son objetos geométricos que lucen localmente como abiertos de $\mathbf{R}^n$. Una clase importante de ejemplos son las variedades diferenciables que están dadas por ciertos subconjuntos de $\mathbf{R}^N$, como por ejemplo la $2$-esfera $$ \mathbf{S}^2 = \{(x,y,z)\in \mathbf{R}^3 \textrm{ tal que }x^2+y^2+z^2=1\}\subseteq \mathbf{R}^3, $$ que luce localmente como $\mathbf{R}^2$, y que puede ser vista en el espacio euclideano $\mathbf{R}^3$. Por otra parte, existen variedades definidas por condiciones geométricas tales como el espacio projectivo real $$ \mathbf{P}^n(\mathbf{R})=\{\textrm{rectas vectoriales }\ell \textrm{ en }\mathbf{R}^{n+1} \}, $$ que luce localmente como $\mathbf{R}^n$, y que a priori no tiene una descripción sencilla en algún espacio ambiente $\mathbf{R}^N$. Por otra parte, un Teorema de Whitney (1936) señala que toda variedad diferenciable $M$ puede ser vista dentro de algún $\mathbf{R}^N$ para cierto $N$ suficientemente grande.

A pesar del importante resultado anterior, veremos que en general la forma en que la variedad $M$ se ve dentro de un $\mathbf{R}^N$ no es explícita, lo cual hace necesario que seamos capaces de estudiar las propiedades geométricas intrínsecas de las variedades, como lo son por ejemplo su dimensión, sus campos vectoriales, o su topología.

El objetivo de este curso es introducir las nociones básicas de la geometría diferencial. En particular, se estudiarán algunos de los invariantes geométricos más importantes tales como los campos de vectores, formas diferenciales, y fibrados vectoriales. Además, exploraremos las diferentes nociones de derivación e integración en variedades, que a su vez están relacionadas a través del Teorema de Stokes. Finalmente, estudiaremos métodos de topología diferencial que permiten utilizar técnicas de geometría diferencial, tales como la Teoría de Morse o la Teoría del grado topológico de Brauer, para deducir propiedades de la topología de las variedades.

Concretamente, discutiremos sobre:

La evaluación de este curso se realizará mediante 1 Presentación, 1 Certamen y 1 Proyecto Final. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes:

La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.2 P + 0.3 C + 0.5 PF.

Clases (referencial)


Ayudantía (referencial)


Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias.

Referencias


Información Práctica

Nos reuniremos todos los Lunes de 9:35 a 10:45 y Jueves de 14:30 a 15:40, y tendremos varias sesiones de ayudantía en horario por definir.


Humor

Conjetura de Poincaré
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