MAT529 (Aritmética)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

Pedro Montero
Oficina: F-247
Horario de clases: Miércoles de 17:10 a 18:40 y Viernes de 15:50 a 17:20.

Índice

Calendario Académico.
Anuncios.
Prerrequisitos y Apunte.
Material Adicional.
Descripción y Evaluación.
Clases (referencial).
Errata.
Referencias.
Información Práctica.

Calendario Académico

El curso MAT529 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2023-1 a considerar son las siguientes:

Inicio del Primer Semestre 2021: Lunes 6 de Marzo.
Semana Mechona: Martes 4 de Abril a Jueves 6 de Abril.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 1 de Mayo.
Vacaciones de Mayo: Lunes 22 de Mayo al Viernes 26 de Mayo.
Feriado (fuera de vacaciones): Miércoles 21 de Junio.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 26 de Junio.
Desinscripciones: Viernes 9 de Junio, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
Término del Primer Semestre 2021: Viernes 7 de Julio.

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Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.

Prerrequisitos y Apunte

Gran parte del curso estará basado en el Apunte Oficial del curso: Ver aquí. ¡Atención! Es posible que este apunte sufra modificaciones a lo largo del semestre.

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Álgebra Abstracta (Estructuras Algebraicas). Será de particular importancia la teoría de anillos y módulos, que pueden recordar aquí. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones aquí.

Material Adicional

PARI: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener ayuda computacional. Uno de los software más usados para cálculos en teoría algebraica de números es PARI.

Descripción y Evaluación

El curso MAT529 se enfoca en la Teoría de Números Algebraica y la Teoría de Galois. El Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero positivo se escribe de manera única (salvo ordenaciones) como potencias de números primos. Kummer, motivado por demostrar el último teorema de Fermat, introdujo el concepto de "números ideales", siendo éstos aquellos que se pueden factorizar como producto de ideales primos.

La Teoría de Números Algebraica provee una gama ejemplos de anillos con propiedades que generalizan a los enteros, ahora considerando sus ideales primos. Estos anillos de enteros surgen de cuerpos globales, es decir, extensiones finitas de $\mathbb{Q}$ (cuerpos de números) o extensiones finitas del cuerpo racional de funciones $\mathbb{F}_q(t)$, donde $\mathbb{F}_q$ es un cuerpo finito de característica $p>0$ (cuerpos de funciones).

Estudiaremos el anillo de enteros de un cuerpo global, el cual forma un Dominio de Dedekind, y su grupo unidades. Localización algebraica y la teoría de valuaciones, interactúan de forma esencial en la ramificación de ideales primos al pasar entre los anillos de enteros de una extensión de cuerpos globales. Se trabajará en la generalidad requerida, con el fin de proveer una base para el estudio de la Teoría de Números moderna.

Concretamente, discutiremos sobre:

Anillos de Enteros y Teoría de Galois.
Anillos de Dedekind y Valuaciones.
Geometría de Números.
Tópicos adicionales (si el tiempo lo permite): Alturas y Teorema de Northcott.

La evaluación de este curso se realizará mediante tareas que serán publicadas a lo largo del semestre.

Entrega Tarea 1 (T1): 16 de Abril de 2023.
Entrega Tarea 2 (T2): 20 de Mayo de 2023.
Entrega Tarea 3 (T3): 11 de Junio de 2023.
Entrega Tarea 4 (T3): 2 de Julio de 2023.

Clases (referencial) en PDF

08/03/2023: Recuerdos de Álgebra Abstracta. Clausura integral (parte 1).
10/03/2023: Clausura integral (parte 2). Extensiones de cuerpos y anillo de enteros (parte 1).
15/03/2023: Extensiones de cuerpos y anillo de enteros (parte 2). Teoría de Galois geométrica (parte 1).
17/03/2023: Teoría de Galois geométrica (parte 2). Los comienzos de la Teoría de Galois (parte 1).
22/03/2023: Los comienzos de la Teoría de Galois (parte 2). Extensiones separables (parte 1).
24/03/2023: Extensiones separables (parte 2).
29/03/2023: Extensiones separables (parte 3). Extensiones normales.
31/03/2023: Extensiones de Galois (parte 1).
05/04/2023: Extensiones de Galois (parte 2). Recuerdos sobre Localización y Anillos noetherianos (parte 1).
12/04/2023: Recuerdos sobre Localización y Anillos noetherianos (parte 2). Clausura integral en extensiones separables (parte 1).
14/04/2023: Clausura integral en extensiones separables (parte 2). Anillos de Dedekind (parte 1).
19/04/2023: Anillos de Dedekind (parte 2).
21/04/2023: Anillos de Dedekind (parte 3). Localización y extensión de Anillos de Dedekind. Fórmula de Ramificación y Anillos de Valuación Discreta (parte 1).
26/04/2023: Fórmula de Ramificación y Anillos de Valuación Discreta (parte 2). Discriminante y Ramificación (parte 1).
28/04/2023: Discriminante y Ramificación (parte 2). Ramificación en extensiones de Galois (parte 1).
03/05/2023: Ramificación en extensiones de Galois (parte 2). Valores absolutos y Lugares (parte 1).
05/05/2023: Valores absolutos y Lugares (parte 2). Teorema de Ostrowski.
10/05/2023: Completación. Cuerpos completos arquimedeanos.
12/05/2023: Extensiones algebraicas de cuerpos completos (parte 1).
17/05/2023: Extensiones algebraicas de cuerpos completos (parte 2).
19/05/2023: Completación para valuaciones discretas (parte 1).
31/05/2023: Completación para valuaciones discretas (parte 2). Restricción y extensión de valores absolutos (parte 1).
02/06/2023: Restricción y extensión de valores absolutos (parte 2). Completación para anillos de Dedekind.
07/06/2023: Fórmula del producto y Norma de ideales. Reticulados y Teorema de Minkowski (parte 1).
09/06/2023: Reticulados y Teorema de Minkowski (parte 2). El anillo de enteros visto como reticulado.
14/06/2023: Finitud del grupo de clases de ideales.
16/06/2023: Teorema de las unidades de Dirichlet. El regulador (parte 1).
23/06/2023: El regulador (parte 2). El principio local-global.
26/06/2023: Anillo de adeles. Grupo de ideles.
30/06/2023: Alturas y Teorema de Northcott.

Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias. Todas las correcciones serán realizadas paralelamente en el Apunte del curso y en las presentaciones de clases.

$\S 1$, pág 1, Recuerdo (división euclideana): "$\operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(Q)$" debería ser "$\operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(G)$".
$\S 2$, pág 3, Ejemplo 2: "(por la condición 2 del Teorema)" debería ser "(por la condición 3 del Teorema)".
$\S 3$, pág 6, Ejemplo 2 (definición de ideal fraccionario principal): Aquí se debe asumir que $A$ es integralmente cerrado, pues dado $\alpha\in \mathbb{K}$ existe $q\in A\setminus \{0\}$ tal que $q\alpha$ es entero sobre $A$, i.e., $q\alpha\in \tilde{A}\subseteq \mathbb{K}$. La condición de integralmente cerrado nos dice que $A=\tilde{A}$.
$\S 4$, pág 7, Proposición: Para que el discriminante $D_{B/ A}(I)\subseteq \mathbb{K}$ sea un ideal fraccionario respecto a $A$ se debe pedir que $A$ sea integralmente cerrado. En efecto, esto se requiere en la penúltima línea de la demostración para poder concluir (usando resultados anteriores) que $\operatorname{Tr}_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(B)\subseteq A$.
$\S 7$, pág 16, Ejemplo 2 (Moore, 1893): La frase "Dado que $(ab)^q = a^q+b^q$" debería ser "Dado que $(ab)^q = a^qb^q$".
$\S 7$, pág 16, Ejemplo 2 (Toda extensión cuadrática $\mathbb{Q}(\sqrt{d})/ \mathbb{Q}$ es normal): Esto se verifica más fácilmente usando la propiedad (3) del Teorema/Definición, en lugar de la propiedad (2).
$\S 11$, pág 27, Lema 2: La conclusión (en azul) "$I^{-1}I=A$" debería ser "$I^{-1}I\subseteq A$". Tal como se ve más adelante (e.g. Lema 5), la igualdad se obtiene en Anillos de Dedekind.
$\S 13$, pág 33, Ejemplo 1: El grado residual "$f_{\mathfrak{q}}=[\mathbf{Z}[i]/\langle 1+i\rangle^2:\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}]$" debería ser "$f_{\mathfrak{q}}=[\mathbf{Z}[i]/\langle 1+i\rangle:\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}]$"

Referencias

J. Neukirch, Algebraic Number Theory. Referencia principal, complementaria al Apunte Oficial.
P. Samuel, Algebraic Theory of Numbers.
J. Milne, Algebraic Number Theory. Ver AQUI.

P. Montero, Álgebra Abstracta. Ver PDF.
S. Lang, Algebraic Number Theory.
J.-P. Serre, Local fields.
M. Atiyah y I. Macdonald, Introduction to commutative algebra.
O. Debarre, Algèbre 1 y Algèbre 2 (en francés).

Información Práctica

Nos reuniremos todos los Miércoles de 17:10 a 18:40 y Viernes de 15:50 a 17:20.