MAT214 (Estructuras algebraicas)

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile)

Profesor:

Pedro Montero
Oficina: F-247
Horario de clases: Lunes de 12:15 a 13:25 (Sala C238) y Viernes de 12:15 a 13:25 (Sala P213).
Ayudantía: Sebastián Fuentes, Martes de 14:30 a 15:40 (Sala P302).

Calendario Académico

El curso MAT214 se rige bajo el Calendario Académico del Campus Casa Central Valparaíso. En particular, las fechas importantes del Semestre 2023-1 a considerar son las siguientes:

Inicio del Primer Semestre 2023: Lunes 6 de Marzo.
Semana Mechona: Martes 4 de Abril a Jueves 6 de Abril.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 1 de Mayo.
Vacaciones de Mayo: Lunes 22 de Mayo al Viernes 26 de Mayo.
Feriado (fuera de vacaciones): Miércoles 21 de Junio.
Feriado (fuera de vacaciones): Lunes 26 de Junio.
Desinscripciones: Viernes 9 de Junio, término de plazo para la Rebaja Académica Voluntaria.
Término del Primer Semestre 2023: Viernes 7 de Julio.

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Nuevo Ayudantía de MAT214: La ayudantía del curso será todos los Martes en el bloque 9-10 (Sala P302).

Nuevo Texto de divulgación: ¿Cuál es el papel del Álgebra en la Matemática Aplicada?, por David A. Cox.

Importante: Deben leer antes de la primera clase el Capítulo 1 (Prerrequisitos) del apunte del curso, que recuerda contenidos de cursos anteriores: Ver aquí (PDF) y aquí (Video). Alternativamente, ver los videos de MAT060 (correspondiente a contenidos del primer semestre de primer año) relacionados con grupos, anillos y cuerpos, relaciones de equivalencia y cocientes, y la construcción del cuerpo $\mathbb{F}_p=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\cdot)$, y ver el video de MAT210 (correspondiente a contenidos del primer semestre de segundo año) sobre Permutaciones.

Descripción y Bibliografía: Pueden encontrar aquí la descripción oficial del curso, así como referencias para complementar los tópicos que serán discutidos.

Prerrequisitos y Apunte

Gran parte del curso estará basado en el Apunte Oficial del curso: Ver aquí. ¡Atención! Es posible que este apunte sufra modificaciones a lo largo del semestre.

Se asumiran conocidos los contenidos del curso de Álgebra Lineal. En particular, la operatoria básica de aplicaciones lineales (y sus matrices asociadas) y espacios vectoriales, así como diagonalización de endomorfismos. Además, será importante para la parte de Teoría de Representaciones el recordar propiedades básicas sobre Producto tensorial de espacios vectoriales, Álgebra tensorial, Álgebra exterior y formas multilineales alternadas y Álgebra simétrica y anillos de polinomios. Pueden encontrar clases en YouTube, material adicional y algunas correcciones de mis apuntes escritos a mano aquí. Dado que los contenidos referentes a tensores no son cubiertos todos los años, no lo asumiremos y serán recordados llegado el momento.

Material Adicional

GAP y Macaulay2: Si bien muchos cálculos pueden ser hechos a mano, no está demás tener una ayuda computacional. Personalmente uso y recomiendo mucho el software libre GAP (Groups, Algorithms, Programming) para cálculos relacionados a grupos finitos y sus representaciones, y Macaulay2 para cálculos relacionados a anillos y módulos. La versión online de Macaulay2 puede encontrarse aquí. Ver también el libro de D. Eisenbud, D. R. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels "Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2" donde pueden encontrar muchos ejemplos detallados para Macaulay 2, así como los Tutoriales en inglés y español para GAP.

Tensores en matemática y física: Una excelente referencia para complementar el estudio de tensores y formas diferenciales es el libro de Paul Renteln "Manifolds, Tensors and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists".

Escritura en $\LaTeX$: El desarrollo de las Tareas debe ser escrito en computador y preferentemente en LaTeX (mucho mejor que Word, y además es software libre). Para usarlo pueden hacer lo siguiente:

Opción 1: Instalar MikTeX (recomiendo la versión completa, sino después hay que preocuparse de instalar paquetes que falten) y luego bajar un editor de LaTeX (yo uso Texmaker, pero hay muchas opciones).
Opción 2: Usar Overleaf, una página donde hay plantillas de LaTeX y se puede escribir sin tener nada instalado, dejando todo guardado en la página. Sólo necesitan crear un usuario aquí.

Típicamente uno aprende $\LaTeX$ por ensayo y error, por lo que es recomendable prácticar bastante para que la escritura tome menos tiempo. De todas maneras, aquí hay más material complementario:

Algunos de los símbolos más comunes (Texmaker también tiene una barra de herramientas que los incluye): Ver aquí.
Detexify les permite identificar símbolos sólo dibujándolos: Ver aquí.
Mathpix Snip permite extraer fórmulas de un pdf o de una imagen: Ver aquí.
MathCha permite dibujar y exportar el resultado a LaTeX o imagen: Ver aquí.
Guía rápida de LaTeX: Ver aquí.
Foro de LaTeX (en inglés): Ver aquí.

Descripción y Evaluación

El objetivo de este curso es que las y los estudiantes aprendan herramientas y técnicas relacionadas a la teoría de grupos, de anillos y de cuerpos, las cuales son necesarias para la formación general de estudiantes en matemáticas. Así mismo, serán capaces de identificar conexiones con problemas físicos y matemáticos. Para ello estudiarán en detalle la noción de grupo, sus diferentes propiedades y teoremas de clasificación. Finalmente, indagarán en las nociones de anillos y cuerpos, los cuales poseen propiedades adicionales a las de los grupos gracias a su estructura multiplicativa.

De manera más general, el Álgebra Abstracta (otro nombre comúnmente usado para este curso) es un área de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas tales como grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y módulos. La importancia y alcance del álgebra abstracta se aprecia incluso en su propio nombre: nos brinda un contexto general en el cual podremos estudiar diversos objetos matemáticos de manera conjunta y abstracta, sin considerar necesariamente casos particulares. Por ejemplo, la multiplicación de números reales no-nulos, las simetrías de una molécula qúimica, las raíces de un polinomio, los movimientos de un cubo Rubik, y las curvas cerradas en una superficie que aparecen típicamente en cálculo vectorial: ¡todas ellas pueden ser dotadas de una estructura de grupo!

Explorando la teoría de grupos de manera abstracta, podemos obtener propiedades y estructuras que se aplican a todos los ejemplos mencionados anteriormente o que podamos descubrir en el futuro. Con esto en mente, no debería ser una sorpresa que el álgebra abstracta constituye un lenguaje extremadamente útil que puede ser usado prácticamente en todas las áreas de la matemática (e incluso en varias ramas de la física, química, criptografía, etc). Un texto recomendado en esa dirección es el artículo ¿Cuál es el papel del Álgebra en la Matemática Aplicada?, por David A. Cox.

Las aplicaciones del álgebra abstracta tanto dentro como fuera de las matemáticas no son la única razón importante para estudiarla. Primero, aprender el formalismo detrás del álgebra abstracta es una de las mejores maneras de ganar práctica en trabajar conceptos complejos y en desarrollar sus habilidades de razonamiento abstracto. Segundo, el estudiar álgebra abstracta les permitirá acercarse a una parte importante del quehacer cotidiano al hacer investigación matemática: muchas veces para obtener resultados novedosos no es necesario realizar muchos cálculos sino más bien identificar diversos resultados fundamentales y sus consecuencias en los casos particulares que nos interesan. Finalmente, y probablemente lo más importante, es que podrán experimentar la belleza intrínseca de la matemática: si bien la estética detrás del álgebra abstracta es usualmente difícil de describir, es algo prácticamente obvio e innegable para cualquiera de sus practicantes.

Concretamente, discutiremos sobre:

Teoría de grupos.
Representaciones de grupos finitos.
Anillos, cuerpos y módulos.
Tópicos adicionales (si el tiempo lo permite): Curvas planas.

La evaluación de este curso se realizará mediante 2 certamenes y 3 tareas. Las fechas de estas evaluaciones son las siguientes (sujeto a modificaciones hasta el 22 de abril de 2023, de acuerdo a Calendario Académico):

Entrega Tarea 1 (T1): Viernes 14 de Abril de 2023.
Certamen 1 (C1): Sábado 29 de Abril de 2023.
Entrega Tarea 2 (T2): Viernes 9 de Junio de 2023.
Certamen 2 (C2): Sábado 24 de Junio de 2023.
Entrega Tarea 3 (T3): Jueves 29 de Junio de 2023.
Examen Global (E): Semana del 3 al 7 de Julio de 2023.

Instrucciones generales:

Cálculo de Nota Final: La nota final NF se calcula de acuerdo a la fórmula NF = 0.3 C1 + 0.15 T1 + 0.3 C2 + 0.15 T2 + 0.1 T3. Estudiantes cuya nota final sea estrictamente inferior a 55 y estrictamente superior a 39, y con al menos una nota de certamen (C1 o C2) mayor o igual a 55, tendrán derecho a un Examen Global (escrito, evaluando todos los contenidos del curso), cuya ponderación será de 65%, para optar a aprobar MAT214 con nota 55. En caso de no aprobar el Examen Global, se mantendrá su nota final NF original. Más precisamente, la Nota Definitiva ND para quienes deban rendir el Examen Global se calcula de acuerdo a la fórmula: $$\mbox{ND}=\min\{55,\max(\mbox{NF},0.35\cdot \mbox{NF}+0.65\cdot \mbox{E})\}. $$
Rendición de Certamenes y Examen Global: Tanto los Certamenes como el Examen Global estarán pensados para ser resuelto en 3 horas. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
Entrega de Tareas: Las tareas se publicarán al menos 2 semanas antes de la fecha de entrega de las mismas. Las primeras dos tareas estarán asociadas a los Certamenes correspondientes y la tercera tarea cubrirá tópicos adicionales y/o no cubiertos en las evaluaciones anteriores. La entrega de Tareas se realizará a través de AULA hasta las 23:59 horas del día de entrega, en un único archivo PDF con la resolución de la tarea escrita preferentemente en LaTeX (o Word) y podrá ser realizada individualmente o en grupos de a lo más dos personas. Importante: Todas las respuestas deben desarrollarse usando la notación del curso.
Plagio: Se podrá utilizar los apuntes del curso durante las evaluaciones, pero sólo se supodrán conocidas las nociones y resultados vistos en cátedra y ayudantía, y todo argumento utilizando resultados adicionales no justificados (e.g. ejercicios propuestos) no será considerado. Tanto los Certamenes como el Examen Global son de caracter individual. Por otra parte, los grupos para las Tareas sólo podrán discutir entre sus integrantes. En todas las evaluaciones donde haya sospecha de copia, plagio de respuestas de Internet, utilización de software para efectuar cálculos o generar respuestas de manera asistida, y/o cualquier situación de fraude académico serán calificadas con nota cero y comunicadas a las instancias pertinentes.
Ausencia a Certamen: Estudiantes que no puedan rendir un certarmen por motivos de fuerza mayor deberán contactarme a la brevedad (y, dentro de lo posible, adjuntar certificado médico visado por el servicio médico de la UTFSM) para poder reemplazar la nota del Certamen no rendido por la nota del Examen Global. Quien no rinda dos certámenes, independientemente de la justificación, no podrá aprobar la asignatura.

Clases (referencial) en PDF

Importante: Antes de comenzar el curso, deben ver la Clase 0 sobre Preliminares que serán asumidos.
06/03/2023: Definiciones básicas y Ejemplos de grupos. Sub-grupos y generadores (parte 1).
10/03/2023: Sub-grupos y generadores (parte 2). Morfismos de grupos.
13/03/2023: Clases Laterales y Teorema de Lagrange. Sub-grupos normales. Cocientes y su propiedad universal (parte 1).
17/03/2023: Cocientes y su propiedad universal (parte 2).
20/03/2023: Acción de un grupo sobre un conjunto. Órbitas (parte 1).
24/03/2023: Órbitas (parte 2). Conjugación. Fórmula de clases y p-grupos (parte 1).
27/03/2023: Fórmula de clases y p-grupos (parte 2). Teoremas de Sylow.
31/03/2023: Teorema chino del resto. Grupos abelianos finitamente generados (parte 1).
03/04/2023: Grupos abelianos finitamente generados (parte 2).
10/04/2023: Grupos simples y Teorema de Jordan-Hölder.
14/04/2023: Anillos y cuerpos. Álgebras. Dominios de integridad y cuerpo de fracciones (parte 1).
17/04/2023: Dominios de integridad y cuerpo de fracciones (parte 2). Ideales (parte 1).
18/04/2023: Ideales (parte 2). Ideales radicales.
24/04/2023: Anillos reducidos y anillos noetherianos. Teorema de la base de Hilbert. Conjuntos algebraicos afines.
28/04/2023: Hilbert Nullstellensatz. Topología de Zariski. Morfismos regulares.
05/05/2023: Álgebra de funciones regulares. Ejemplos explícitos. Geometría de ideales y Espectro maximal.
08/05/2023: Morfimos entre cocientes y teorema chino del resto. Módulos sobre un anillo (primeras definiciones).
12/05/2023: Módulos cocientes. Operaciones sobre sub-módulos. Módulos finitamente generados y módulos libres (parte 1).
15/05/2023: Módulos finitamente generados y módulos libres (parte 2). Teorema de Cayley-Hamilton y Lema de Nakayama (parte 1).
19/05/2023: Teorema de Cayley-Hamilton y Lema de Nakayama (parte 2). Sucesiones exactas y complejos (parte 1).
29/05/2023: Sucesiones exactas y complejos (parte 2). Formas diferenciales y cohomología de de Rham.
02/06/2023: Módulos proyectivos e inyectivos. Lema de la Serpiente.
05/06/2023: Producto tensorial de espacios vectoriales.
09/06/2023: Producto tensorial de módulos y exactitud a la derecha del producto tensorial.
12/06/2023: Localización de anillos y módulos (parte 1).
16/06/2023: Localización de anillos y módulos (parte 2).
19/06/2023: Discusión y consultas.

Ayudantía (referencial)

14/03/2023: Ayudantía 1.
21/03/2023: Ayudantía 2.
28/03/2023: Ayudantía 3.
04/04/2023: Ayudantía 4.
21/04/2023: Ayudantía 5.
25/04/2023: Ayudantía 6.
02/05/2023: Ayudantía 7.
09/05/2023: Ayudantía 8.
16/05/2023: Ayudantía 9.
30/05/2023: Ayudantía 10.
06/06/2023: Ayudantía 11.
13/06/2023: Ayudantía 12.
20/06/2023: Ayudantía 13.

Errata

En esta sección se recopilaran las correcciones y aclaraciones necesarias. Todas las correcciones serán realizadas paralelamente en el Apunte del curso y en las presentaciones de clases.

Referencias

P. Montero, Álgebra Abstracta. Ver PDF.
D. Dummit y R. Foote, Abstract Algebra. Referencia principal, complementaria al Apunte Oficial.
J. B. Fraleigh, Álgebra abstracta. Útil para Teoría de Grupos y Anillos.
A. Gathmann, Commutative Algebra. Ver AQUI. Útil para Teoría de Anillos y Módulos.
A. Gathmann, Plane Algebraic Curves. Ver AQUI. Útil para Teoría de Curvas Planas (tópico adicional, si el tiempo lo permite).

T. W. Hungerford, Algebra.
S. Lang, Algebra.
J.-P. Serre, Linear representations of finite groups.
W. Fulton y J. Harris, Representation theory.
M. Atiyah y I. Macdonald, Introduction to commutative algebra.
O. Debarre, Algèbre 1 y Algèbre 2 (en francés).

Información Práctica

Nos reuniremos todos los Lunes de 12:15 a 13:25 (Sala C238) y Viernes de 12:15 a 13:25 (Sala P213). El horario de ayudantía será el Martes de 14:30 a 15:40 (Sala P302).

Humor